Suponha que as variáveis aleatórias X e Y sejam contínuas com função de distribuição conjunta dada por:
F(x, y)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } x<0 \text { ou } y<0 \\\ \frac{1}{16} x y(x+y), \text { se } 0 \leq x \leq 2 \text { e } 0 \leq y \leq 2 \\\\ 1, \text { se } x>2 \text { e } y>2 \end{array}\right.
Pede-se:
a f(x, y) a densidade conjunta de X e Y;
b F(x) e F(y), as distribuições marginais de X e de Y;
c. f(x) e f(y), as densidades marginais de X e de Y.

Passo 1

O enunciado fornece a função de distribuição conjunta F(x,y) de duas variáveis contínuas X e Y definida por partes em \R^2. Pede-se:
a) a densidade conjunta f(x,y), que se obtém pelas derivadas parciais de F;
b) as distribuições marginais F_X(x) e F_Y(y), que são os limites de F(x,y) quando a outra variável vai para +\infty;
c) as densidades marginais f_X(x) e f_Y(y), que podem ser obtidas ou pela derivada de F_X e F_Y ou integrando f(x,y) em uma das variáveis.

Passo 2

Para 0<x<2 e 0<y<2 temos
F(x,y)=\frac{1}{16}\,x\,y\,(x+y).
A densidade conjunta é
f(x,y) =\frac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}F(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[\tfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{x^2y+x\,y^2}{16}\bigr)\Bigr] =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[\tfrac{2xy+y^2}{16}\Bigr] =\frac{2x+2y}{16} =\frac{x+y}{8}.
Fora desse retângulo f(x,y)=0.

Passo 3

A distribuição marginal de X é
F_X(x)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y).
Para x<0 vale F_X(x)=0. Se 0\le x\le2, então ao fazer y>2 temos F(x,y)=F(x,2), logo
F_X(x)=F(x,2) =\frac{1}{16}\,x\cdot2\,(x+2) =\frac{x(x+2)}{8}.
Para x>2 vale F_X(x)=1.

Passo 4

Pela simetria, a distribuição marginal de Y dá-se por
F_Y(y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y),
que resulta em
F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[6pt] \displaystyle \frac{y(y+2)}{8}, & 0\le y\le2,\\[6pt] 1, & y>2. \end{cases}]

Passo 5

As densidades marginais podem ser obtidas integrando f(x,y). Para 0\le x\le2:
f_X(x) =\int_{0}^{2} \frac{x+y}{8}\,dy =\frac{1}{8}\Bigl[\,x\,y+\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{8}\bigl(2x+2\bigr) =\frac{x+1}{4}.
Analogamente, para 0\le y\le2:
f_Y(y) =\int_{0}^{2} \frac{x+y}{8}\,dx =\frac{1}{8}\Bigl[\tfrac{x^2}{2}+y\,x\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{8}\bigl(2+2y\bigr) =\frac{y+1}{4}.
Fora desses intervalos as densidades marginais são zero.

Resposta

a)
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x+y}{8}, & 0<x<2,\;0<y<2,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
b)
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] \dfrac{x(x+2)}{8}, & 0\le x\le2,\\[4pt] 1, & x>2, \end{cases} \quad F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] \dfrac{y(y+2)}{8}, & 0\le y\le2,\\[4pt] 1, & y>2. \end{cases}
c)
f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{x+1}{4}, & 0\le x\le2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \quad f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{y+1}{4}, & 0\le y\le2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}áá]

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