Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição geométrica, com p=0,5. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(X=1)
(b) P(X=4)
© P(X=8)
(d) P(X <= 2)
(e) P(X>2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,5 $. A distribuição geométrica é usada para modelar o número de tentativas necessárias até ocorrer o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli (onde cada ensaio tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso). Para resolver as probabilidades pedidas, vamos usar a fórmula da distribuição geométrica.

Passo 2

A fórmula da distribuição geométrica para $ P(X = k) $ é:
P(X = k)
Aqui, $ p = 0,5 $ é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, e $ k $ é o número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 3

Vamos calcular cada item:
(a) $ P(X = 1) $
Aplicando a fórmula:
P(X = 1)
(b) $ P(X = 4) $
P(X = 1) = (1 - 0,5)^1 - 1 times 0,5 = (0,5)^0 times 0,5 = 1 times 0,5 = 0,5
© $ P(X = 8) $
P(X = 4)
(d) $ P(X \leq 2) $
Isso significa a probabilidade de que $ X $ seja 1 ou 2. Podemos calcular separadamente e somar:
P(X = 4) = (1 - 0,5)^4 - 1 times 0,5 = (0,5)^3 times 0,5 = 0,125 times 0,5 = 0,0625
Já sabemos que $ P(X = 1) = 0,5 $. Agora, calculamos $ P(X = 2) $:
P(X = 8)
Então,
P(X = 8) = (1 - 0,5)^8 - 1 times 0,5 = (0,5)^7 times 0,5 = 0,0078125 times 0,5 = 0,00390625
(e) $ P(X > 2) $
Isso é o contrário de $ P(X \leq 2) $, ou seja:
P(X <= 2)

Resposta

(a) $ P(X=1) = 0,5 $
(b) $ P(X=4) = 0,0625 $
© $ P(X=8) = 0,00390625 $
(d) $ P(X \leq 2) = 0,75 $
(e) $ P(X > 2) = 0,25 $

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