Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição geométrica, com
. Determine as seguintes probabilidades:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição geométrica com $ p = 0,5 $. A distribuição geométrica é usada para modelar o número de tentativas necessárias até ocorrer o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli (onde cada ensaio tem dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso). Para resolver as probabilidades pedidas, vamos usar a fórmula da distribuição geométrica.
Passo 2
A fórmula da distribuição geométrica para $ P(X = k) $ é:
Aqui, $ p = 0,5 $ é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, e $ k $ é o número de tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 3
Vamos calcular cada item:
(a) $ P(X = 1) $
Aplicando a fórmula:
(b) $ P(X = 4) $
© $ P(X = 8) $
(d) $ P(X \leq 2) $
Isso significa a probabilidade de que $ X $ seja 1 ou 2. Podemos calcular separadamente e somar:
Já sabemos que $ P(X = 1) = 0,5 $. Agora, calculamos $ P(X = 2) $:
Então,
(e) $ P(X > 2) $
Isso é o contrário de $ P(X \leq 2) $, ou seja:
Resposta
(a) $ P(X=1) = 0,5 $
(b) $ P(X=4) = 0,0625 $
© $ P(X=8) = 0,00390625 $
(d) $ P(X \leq 2) = 0,75 $
(e) $ P(X > 2) = 0,25 $