Suponha que os vetores
gerem
e seja
uma transformação linear. Suponha que
para
, p. Mostre que
éa transformação nula, ou seja, mostre que
para todo
em
.
Passo 1
O enunciado afirma que os vetores
geram
e que
é linear, com
para
. O que precisamos usar é a definição de conjunto gerador e a propriedade de linearidade de
.
Passo 2
Como
gera
, dado qualquer vetor
existem escalares
tais que
Passo 3
Aplicando
à combinação linear e usando a linearidade de
, obtém-se
Como isso vale para todo
, concluímos que
é a transformação nula.
Resposta
Para todo
,
ou seja,
é a transformação nula.