Suponha que os vetores v1, ldots, vp gerem R^n e seja T: R^n B^n uma transformação linear. Suponha que T(vi)=0 para i=1, ldots, p. Mostre que T éa transformação nula, ou seja, mostre que T(x)=0 para todo x em R^n.

Passo 1

O enunciado afirma que os vetores v1,dots,vp geram R^n e que T:R^ntoB^n é linear, com T(vi)=0 para i=1,dots,p. O que precisamos usar é a definição de conjunto gerador e a propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Como v1,dots,vp gera R^n, dado qualquer vetor xinR^n existem escalares a1,dots,ap tais que
x ;=;sumi=1^pai,vi

Passo 3

Aplicando T à combinação linear e usando a linearidade de T, obtém-se
T(x) = Tl(sumi=1^pai,vir) = sumi=1^pai,T(vi) = sumi=1^pai,0 = 0
Como isso vale para todo xinR^n, concluímos que T é a transformação nula.

Resposta

Para todo xinR^n,
T(x)=0,
ou seja, T é a transformação nula.

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