Suponha que você esteja interessado em estimar a proporção de funcionários fumantes em uma empresa. Você coletou uma amostra aleatória de 135 funcionários, dentre os quais 21 fumam.
Qual o limite superior do intervalo de confiança de 99 %? A tolerância de erro para a correção é pm 0.015.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber qual é o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a proporção de funcionários fumantes numa empresa. A gente vai precisar entender como calcular um intervalo de confiança para uma proporção. Para isso, vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para proporções e a tabela z para achar o valor crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral ( p = 21135 approx 0,1556 ). Isso é simplesmente o número de funcionários fumantes dividido pelo total de funcionários na amostra.
Então, a proporção amostral é aproximadamente 0,1556, ou 15,56%.

Passo 3

Agora, precisamos achar o valor crítico da distribuição normal para um intervalo de confiança de 99%. Esse valor nos diz quantos desvios padrão a gente vai considerar para construir o intervalo.
Como é um intervalo de 99%, a confiança está dividida igualmente nas duas caudas da distribuição. Então, a probabilidade em cada cauda é de 0,5%.
Consultando a tabela z, ou usando uma calculadora, o valor crítico zalpha/2 = 2,576 para 99% de confiança é aproximadamente 2,576.

Passo 4

O próximo passo é calcular a margem de erro ( E = zalpha/2 times raizp(1 - p)n ). A fórmula para a margem de erro em um intervalo de confiança para proporções é:
E = 2,576 times raiz0,1556 times (1 - 0,1556)135 approx 2,576 times raiz0,1556 times 0,8444135 approx 2,576 times raiz0,1314135 approx 2,576 times raiz0,000974 approx 2,576 times 0,0312 approx 0,0803
Onde:
  • é a proporção amostral,
  • é o tamanho da amostra.
Vamos substituir os valores:
Então, a margem de erro é aproximadamente 0,0803, ou 8,03%.
No entanto, o enunciado nos dá uma tolerância de erro de ±0,015. Isso significa que a margem de erro que devemos considerar é 0,015.

Passo 5

Com a proporção amostral e a margem de erro, podemos agora calcular o limite superior do intervalo de confiança.
Limite Superior = p + E = 0,1556 + 0,015 = 0,1706

Resposta

O limite superior do intervalo de confiança de 99% para a proporção de funcionários fumantes é aproximadamente 17,06%.

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