Se você aposta
em um número da roleta de apostas de um casino, você pode ganhar
com probabilidade
ou perder
com probabilidade
. Seja
o ganho em um aposta.
Calcule a probabilidade aproximada de você estar ganhando após apostar 809 vezes.
Calcule a probabilidade aproximada de você estar ganhando após apostar 809 vezes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você apostou R$ 1,00 em um número na roleta de um cassino. A cada aposta, se você acerta, ganha R$ 87,00 com uma chance de 1 em 38. Se não acerta, perde R$ 1,00, que tem uma chance de 37 em 38. Queremos calcular a probabilidade de você estar ganhando depois de fazer 809 apostas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como valor esperado e a distribuição normal para aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a variável aleatória
que representa o ganho em uma única aposta. Se você ganhar,
, e isso acontece com probabilidade
. Se perder,
, com probabilidade
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado
de uma aposta. O valor esperado nos dá uma ideia de quanto, em média, você ganha ou perde por aposta:
Calculando:
Isso significa que, em média, você ganha cerca de R$ 1,3158 por aposta.
Passo 4
Vamos calcular agora o valor esperado total após 809 apostas. Como cada aposta é independente, o valor esperado total
é:
Também precisamos da variância de uma aposta para entender a dispersão dos resultados. A variância
é:
Primeiro, calculamos
:
Então,
A variância total após 809 apostas é:
O desvio padrão
é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Como fizemos muitas apostas (809), podemos usar o Teorema Central do Limite, que nos permite aproximar a distribuição do ganho total
por uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. Então,
.
Passo 6
Queremos saber a probabilidade de estar ganhando, ou seja,
. Para isso, vamos calcular o escore z que corresponde a
:
Passo 7
Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a
. Essa probabilidade é aproximadamente 0,0040, ou seja, 0,40%. Como queremos
, que é a probabilidade de estar ganhando, calculamos:
Resposta
A probabilidade aproximada de você estar ganhando após apostar 809 vezes é de 99,60%.