Se você aposta R em um número da roleta de apostas de um casino, você pode ganhar em um número da ro<=ta de apostas de um casino, você pode ganhar com probabilidade 87,00 ou perder 1 / 38 com probabilidade R . Seja com probabilidade o ganho em um aposta.
Calcule a probabilidade aproximada de você estar ganhando após apostar 809 vezes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Você apostou R$ 1,00 em um número na roleta de um cassino. A cada aposta, se você acerta, ganha R$ 87,00 com uma chance de 1 em 38. Se não acerta, perde R$ 1,00, que tem uma chance de 37 em 38. Queremos calcular a probabilidade de você estar ganhando depois de fazer 809 apostas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como valor esperado e a distribuição normal para aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória 87,00 ), e isso acontece com probabilidade ( 138 ) Se perder, ( X = -R que representa o ganho em uma única aposta. Se você ganhar, , e isso acontece com probabilidade . Se perder, , com probabilidade .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado E(X) = (138 times 87) + (3738 times (-1)) de uma aposta. O valor esperado nos dá uma ideia de quanto, em média, você ganha ou perde por aposta:
E(X) = (8738) - (3738) = 87 - 3738 = 5038 approx 1,3158 , reais por aposta
Calculando:
Isso significa que, em média, você ganha cerca de R$ 1,3158 por aposta.

Passo 4

Vamos calcular agora o valor esperado total após 809 apostas. Como cada aposta é independente, o valor esperado total E(T) = 809 times E(X) approx 809 times 1,3158 approx 1063,69 , reais é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Também precisamos da variância de uma aposta para entender a dispersão dos resultados. A variância E(X^2) = (138 times 87^2) + (3738 times (-1)^2) = (756938) + (3738) approx 199,1842 + 0,9737 = 200,1579 é:
Var(X) = 200,1579 - (1,3158)^2 approx 200,1579 - 1,7316 approx 198,4263
Primeiro, calculamos Var(T) = 809 times Var(X) approx 809 times 198,4263 approx 160,291.14 :
sigmaT approx raiz160291,14 approx 400,36
Então,
A variância total após 809 apostas é:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Passo 5

Como fizemos muitas apostas (809), podemos usar o Teorema Central do Limite, que nos permite aproximar a distribuição do ganho total por uma distribuição normal com média e desvio padrão . Então, .

Passo 6

Queremos saber a probabilidade de estar ganhando, ou seja, z = 0 - E(T)sigmaT = 0 - 1063,69400,36 approx -2,656 . Para isso, vamos calcular o escore z que corresponde a :

Passo 7

Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a P(T > 0) = 1 - P(Z <= -2,656) approx 1 - 0,0040 = 0,9960 , ou , 99,60% . Essa probabilidade é aproximadamente 0,0040, ou seja, 0,40%. Como queremos , que é a probabilidade de estar ganhando, calculamos:

Resposta

A probabilidade aproximada de você estar ganhando após apostar 809 vezes é de 99,60%.

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