Suponha que você esteja interessado em estimar a proporção de funcionários fumantes em uma empresa. Você coletou uma amostra aleatória de 135 funcionários, dentre os quais 21 fumam.
Qual o limite inferior do intervalo de confiança de 9 9 %? A tolerância de erro para a correção é pm 0.015.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer saber qual é o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a proporção de funcionários que fumam numa empresa. Estamos usando uma amostra aleatória de 135 funcionários, e 21 deles fumam. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de intervalo de confiança para proporção e aplicar a fórmula do intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção de fumantes na amostra. A proporção (p̂) é o número de fumantes dividido pelo total de funcionários na amostra.
p = 21135
Calculando isso:
p = 21135 approx 0,1556
Então, a proporção de fumantes na amostra é aproximadamente 0,1556 ou 15,56%.

Passo 3

Agora, vamos determinar o nível de confiança que queremos, que é 99%. O nível de confiança nos diz o quanto podemos ter de certeza de que o intervalo vai conter a verdadeira proporção da população. Para 99%, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, o valor crítico z para 99% de confiança é aproximadamente 2,576.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão (EP) é uma medida de quanto a proporção da amostra pode variar em relação à verdadeira proporção da população. A fórmula do erro padrão para proporção é:
EP = raizp(1 - p)n
Onde:
  • EP = raiz0,1556 times (1 - 0,1556)135 é a proporção da amostra
  • EP = raiz0,1556 times 0,8444135 é o tamanho da amostra
Substituindo os valores:
EP = raiz0,1314135
EP approx raiz0,000972
EP approx 0,0312
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,0312.

Passo 5

Agora, vamos calcular o intervalo de confiança usando a fórmula:
IC = p pm z times EP
Para encontrar o limite inferior, vamos subtrair o produto de z e EP da proporção da amostra.
Limite Inferior = p - z times EP
Limite Inferior = 0,1556 - 2,576 times 0,0312
Limite Inferior = 0,1556 - 0,0803
Limite Inferior approx 0,0753

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança de 99% é aproximadamente 0,0753 ou 7,53%.

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