Dados A e b do sistema A x=b, pede-se:
b=[c -2 1 3 ], A=[ccc 2 & 1 & -1 2 & -1 & -15 1 & 1 & 1 ]
Determine a decomposição LU da matriz A.

Passo 1

Beleza, a questão diz: “temos a matriz
A = 2 & 1 & -1 2 & -1 & -15 1 & 1 & 1 ,
e pede para encontrar a decomposição LU de .” Isso faz parte de Álgebra Linear, mais especificamente do método de eliminação de Gauss para fatorar uma matriz em (lower triangular) e (upper triangular). Para resolver, a gente vai usar o processo de eliminação de Gauss sem pivoteamento, anotando cada multiplicador na matriz e ficando com os restos em .

Passo 2

Primeiro, escolhemos o pivô ell21 = a21a11 = 22 = 1 .
  • Calculamos o multiplicador para zerar linha2 linha2 - 1cdotlinha1 = (2,,-1,,-15) - (2,,1,,-1) = (0,,-2,,-14) : ell31 = a31a11 = 12 Subtraímos linha3 linha3 - tfrac12cdotlinha1 = (1,,1,,1) - (,1,,0.5,,-0.5) = (0,,0.5,,1.5) vez a primeira linha da segunda linha: U = 2 & 1 & -1 0 & -2 & -14 0 & 0.5 & 1.5 ,
  • Calculamos o multiplicador para zerar L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 1 : Subtraímos vez a primeira linha da terceira linha:
Até aqui, nossa parcial fica
e já começa como

Passo 3

Agora olhamos o pivô ell32 = u32u22 = 0.5-2 = -0.25 na submatriz 2×2.
  • Calculamos o multiplicador para zerar a(3,2): linha3 (0,,0.5,,1.5) - (-0.25)cdot(0,,-2,,-14) = (0,,0.5,,1.5) + (0,,0.5,,3.5) = (0,,1,,5) Subtraímos U = 2 & 1 & -1 0 & -2 & -14 0 & 0 & 5 , vez a segunda linha da terceira linha: L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 tfrac12 & -0.25 & 1
Pronto, chegamos a
e só faltou colocar em :

Resposta

A decomposição L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac14 & 1 , U = 2 & 1 & -1 0 & -2 & -14 0 & 0 & 5 é

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