Dados
e b do sistema
, pede-se:
Determine a decomposição LU da matriz A.
Passo 1
Beleza, a questão diz: “temos a matriz
e pede para encontrar a decomposição LU de
.” Isso faz parte de Álgebra Linear, mais especificamente do método de eliminação de Gauss para fatorar uma matriz em
(lower triangular) e
(upper triangular). Para resolver, a gente vai usar o processo de eliminação de Gauss sem pivoteamento, anotando cada multiplicador na matriz
e ficando com os restos em
.
Passo 2
Primeiro, escolhemos o pivô
ell21 = a21a11 = 22 = 1 .
- Calculamos o multiplicador para zerar
:linha2 linha2 - 1cdotlinha1 = (2,,-1,,-15) - (2,,1,,-1) = (0,,-2,,-14) Subtraímosell31 = a31a11 = 12 vez a primeira linha da segunda linha:linha3 linha3 - tfrac12cdotlinha1 = (1,,1,,1) - (,1,,0.5,,-0.5) = (0,,0.5,,1.5) U = 2 & 1 & -1 0 & -2 & -14 0 & 0.5 & 1.5 , - Calculamos o multiplicador para zerar
:L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 1 Subtraímos vez a primeira linha da terceira linha:
Até aqui, nossa
parcial fica
e
já começa como
Passo 3
Agora olhamos o pivô
ell32 = u32u22 = 0.5-2 = -0.25 na submatriz 2×2.
- Calculamos o multiplicador para zerar a(3,2):
Subtraímoslinha3 (0,,0.5,,1.5) - (-0.25)cdot(0,,-2,,-14) = (0,,0.5,,1.5) + (0,,0.5,,3.5) = (0,,1,,5) vez a segunda linha da terceira linha:U = 2 & 1 & -1 0 & -2 & -14 0 & 0 & 5 , L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 tfrac12 & -0.25 & 1
Pronto, chegamos a
e só faltou colocar
em
:
Resposta
A decomposição
L = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac14 & 1 , U = 2 & 1 & -1 0 & -2 & -14 0 & 0 & 5 é