Use a calculadora para fazer as seguintes contas: 1 \div 9,2 \div 9, \cdots, 8 \div 9. Explique o padrão observado nos resultados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando calculadora, as divisões
\dfrac{1}{9}, \dfrac{2}{9}, \ldots, \dfrac{8}{9}
e explicar o padrão observado nos resultados. Informações dadas: os numeradores são os inteiros de 1 a 8 e o denominador é 9. O que preciso entregar: os valores dessas divisões e uma explicação do porquê do padrão que aparecerá.

Passo 2

Vou apresentar cada divisão em forma decimal repetida (a forma que a calculadora mostra, e a forma exata com dígito repetido):
\displaystyle \frac{1}{9}=0,111\ldots=0,\overline{1}
\displaystyle \frac{2}{9}=0,222\ldots=0,\overline{2}
\displaystyle \frac{3}{9}=0,333\ldots=0,\overline{3}
\displaystyle \frac{4}{9}=0,444\ldots=0,\overline{4}
\displaystyle \frac{5}{9}=0,555\ldots=0,\overline{5}
\displaystyle \frac{6}{9}=0,666\ldots=0,\overline{6} (observe que \dfrac{6}{9} simplifica para \dfrac{2}{3})
\displaystyle \frac{7}{9}=0,777\ldots=0,\overline{7}
\displaystyle \frac{8}{9}=0,888\ldots=0,\overline{8}
(Se você rodar uma calculadora e pedir 15 casas, por exemplo, verá 0,111111111111111, 0,222222222222222, etc.)

Passo 3

Agora vou mostrar por que isso acontece — passo a passo e de forma bem didática.
Considere um número decimal com um único dígito que se repete infinitamente, por exemplo 0,\overline{d}, onde d é um dígito entre 0 e 9. Defina
x = 0,\overline{d}.
Multiplicando por 10 obtemos
10x = d,\overline{d}
ou seja, o mesmo padrão deslocado uma casa. Subtraindo as duas igualdades:
10x - x = d,\overline{d} - 0,\overline{d} \implies 9x = d.
Portanto
x = \frac{d}{9}.
Isso prova que qualquer número da forma 0,\overline{d} é exatamente \dfrac{d}{9}. Aplicando com d=1,2,\dots,8 temos exatamente os casos acima: \dfrac{n}{9}=0,\overline{n}.

Passo 4

Vou reforçar a intuição com um exemplo concreto: pegue x=0,\overline{7}. Então 10x=7,\overline{7}. Subtraindo vem 9x=7, logo x=7/9. Isso mostra que a calculadora mostra 0,777\ldots porque esse número é exatamente \dfrac{7}{9}.

Passo 5

Observações úteis para prova e entendimento:
  • O padrão vale enquanto o numerador for um só dígito ( 1 a 8). Para numeradores com mais de um dígito a repetição pode envolver mais de um dígito (por exemplo \dfrac{10}{9}=1,111\ldots).
  • Há uma simetria: \dfrac{n}{9}+\dfrac{9-n}{9}=1. Em decimais isso aparece porque 0,\overline{n}+0,\overline{9-n}=0,\overline{9}, e 0,\overline{9} é igual a 1 (você pode mostrar isso com o mesmo truque algébrico).
  • Alguns casos simplificam: por exemplo \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}=0,\overline{3} e \dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}=0,\overline{6}.

Passo 6

Dica prática para a prova: se o denominador for 9 e o numerador for um dígito n, já escreva direto 0,\overline{n}. Se precisar justificar, faça a conta rápida: suponha x=0,\overline{n}, então 9x=n\Rightarrow x=\dfrac{n}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}=0,\overline{1}
\displaystyle \frac{2}{9}=0,\overline{2}
\displaystyle \frac{3}{9}=0,\overline{3}
\displaystyle \frac{4}{9}=0,\overline{4}
\displaystyle \frac{5}{9}=0,\overline{5}
\displaystyle \frac{6}{9}=0,\overline{6}
\displaystyle \frac{7}{9}=0,\overline{7}
\displaystyle \frac{8}{9}=0,\overline{8}
Padrão: para n=1,\dots,8 vale \displaystyle \frac{n}{9}=0,\overline{n} (um único dígito n repetido infinitamente).

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