Suponha que você seja administrador de um fabricante de relógios de pulso que opera em um mercado de concorrência perfeita. Seu custo total de produção por dia é expresso por CT(q)=200+2 q^2, em que q é a quantidade de relógios produzidas em um dia. Se o preço do produto for R 100$, então a produção de máximo lucro da empresa será de 25 unidades por dia.

Passo 1

O enunciado apresenta uma empresa em concorrência perfeita cujo custo total diário é
CT(q)=200+2q^2
e o preço de venda é p=100.
Queremos determinar a quantidade q que maximiza o lucro usando a condição de primeira ordem ( MR=MC) e checando a concavidade com a segunda derivada.

Passo 2

Em concorrência perfeita a receita total é
RT(q)=pcdot q=100q
Logo o lucro pi(q) é
pi(q)=RT(q)-CT(q) =100q-l(200+2q^2r)

Passo 3

Para achar o extremo, calculamos a derivada primeira do lucro:
pi'(q)=ddql(100q-200-2q^2r) =100-4q
Igualando a zero vem
100-4q=0 Longrightarrow q=1004=25

Passo 4

Verificamos a segunda derivada para garantir máximo:
pi''(q)=ddq(100-4q)=-4<0
Como é negativa, q=25 é realmente um ponto de máximo.

Resposta

A produção de máximo lucro é de 25 unidades por dia.

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