Suponha que z seja um número complexo com uma raiz quarta w que não é real ou imaginár puro. Explique por que as outras raízes quartas não são reais ou imaginários puros.

Passo 1

O enunciado diz que temos um número complexo z e uma quarta raiz dele, chamada w, que não é nem real nem imaginário puro. O assunto é extração de raízes de números complexos e vamos usar a propriedade de que as raízes estão relacionadas pelos 4º raízes da unidade.

Passo 2

As raízes quartas de z podem ser escritas a partir de w multiplicando-a pelos quatro 4º raízes da unidade, isto é, pelos números 1, i, i^2 e i^3. Em fórmulas:
wk = wcdot e^2pi i k/4 = wcdot i^k, k=0,1,2,3

Passo 3

Escreva w na forma w=a+bi, com a\neq0 e b\neq0 (pois w não é real nem imaginário puro). Agora calcule cada raiz multiplicada por i^k e veja partes real e imaginária:
  • Para k=0: w_0=w=a+bi, tem parte real a\neq0 e parte imaginária b\neq0.
  • Para k=1: w_1=i w = i(a+bi) = -b + ai, tem parte real - b\neq0 e parte imaginária a\neq0.
  • Para k=2: w_2=i^2 w = -w = -a - bi, parte real - a\neq0 e parte imaginária - b\neq0.
  • Para k=3: w_3=i^3 w = -i w = b - ai, parte real b\neq0 e parte imaginária - a\neq0.

Passo 4

Como em todos os casos a parte real e a parte imaginária são simultaneamente diferentes de zero, nenhuma das raízes w_k cai no eixo real (onde a parte imaginária seria zero) nem no eixo imaginário (onde a parte real seria zero). Portanto, as outras raízes quartas também não são reais nem imaginárias puras.

Resposta

As outras raízes são w, i w, -w e -i w. Se w=a+bi com a≠0 e b≠0, então em cada produto a parte real e a parte imaginária permanecem não nulas, logo nenhuma raiz é real nem imaginária pura.

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