Suponha que X_{1}, \ldots, X_{\mathrm{n}}, Y_{1}, \ldots, Y_{\mathrm{n}} são i.i.d. com distribuição comum N(0,1). Explique por que \left(X_{1}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}\right) /\left(Y_{1}^{2}+\cdots+Y_{n}^{2}\right) tem distribuição F. Quais os números de graus de liberdade?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas amostras independentes
\{X_{1},\dots,X_{n}\} e \{Y_{1},\dots,Y_{n}\}, cada variável com distribuição N(0,1).
Pede-se a distribuição de
\frac{X_{1}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}}{Y_{1}^{2}+\cdots+Y_{n}^{2}}.
O conteúdo necessário é a distribuição qui-quadrado e a definição de distribuição F.

Passo 2

Defina
U = X_{1}^{2}+\cdots+X_{n}^{2}, \quad V = Y_{1}^{2}+\cdots+Y_{n}^{2}.
Como soma de n quadrados de normais padrão, vale
\;U\sim\chi^2_{n} e \;V\sim\chi^2_{n}.

Passo 3

As amostras \{X_i\} e \{Y_i\} são independentes, logo U e V são independentes.

Passo 4

Pela definição, se U\sim\chi^2_{d_1} e V\sim\chi^2_{d_2} independentes, então
\frac{U/d_1}{V/d_2}\sim F(d_1,d_2).

Passo 5

No nosso caso d_1=d_2=n. Note que
\frac{U}{V} = \frac{U/n}{V/n}
é exatamente um F(n,n).

Resposta

Distribuição F com n graus de liberdade no numerador e n no denominador.

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