Suponha que X tem uma distribuição Geométrica com parâmetro p=0.8. Determine:
P(4 <= X <= 7 ou X>9)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Geométrica com parâmetro $ p = 0.8 $. Precisamos calcular a probabilidade de que $ X $ esteja entre 4 e 7, ou seja, $ 4 \leq X \leq 7 $, ou que $ X $ seja maior que 9, isto é, $ X > 9 $.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição Geométrica, que nos ajuda a modelar o número de tentativas até o primeiro sucesso em experimentos de Bernoulli (onde cada tentativa tem duas possíveis saídas: sucesso com probabilidade $ p $ e fracasso com probabilidade $ q = 1 - p $).

Passo 2

Primeiro, lembramos a fórmula da probabilidade da distribuição Geométrica:
P(X = k) = q^k-1 cdot p
onde:
  • $ q = 1 - p $
  • $ k $ é o número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso.
Vamos calcular $ q $:
q = 1 - p

Passo 3

Agora, queremos calcular $ P(4 \leq X \leq 7) $. Isso significa a soma das probabilidades de $ X $ ser 4, 5, 6 ou 7:
P(4 <= X <= 7)
Vamos calcular cada termo:
X
Portanto:
P(4 <= X <= 7) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)
P(X=k) = 0.2^k-1 cdot 0.8
P(X=4) = 0.2^3 cdot 0.8 = 0.008 cdot 0.8 = 0.0064
P(X=5) = 0.2^4 cdot 0.8 = 0.0016 cdot 0.8 = 0.00128
Agora, somamos essas probabilidades:
P(X=6) = 0.2^5 cdot 0.8 = 0.00032 cdot 0.8 = 0.000256

Passo 4

Em seguida, calculamos $ P(X > 9) $. Isso significa que as primeiras 9 tentativas foram fracassos, e o sucesso ocorre na 10ª tentativa ou após:
P(X > 9)
Calculando:
P(X > 9) = P(X >= 10) = q^9 = 0.2^9

Passo 5

Agora, somamos as duas probabilidades encontradas:
P(4 <= X <= 7 ou X > 9) = P(4 <= X <= 7) + P(X > 9) approx 0.007 + 0.000000512 approx 0.007

Resposta

A probabilidade $ P(4 \leq X \leq 7 ou X > 9) $ é aproximadamente 0.007.

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