Suponhamos que R e S sejam relações e R=S^-1. Prove que S=R^-1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Suponha que e são relações e que . Prove que .”
Conteúdo: teoria de relações e inversão de relações.
O que vamos precisar:
  • Definição de relação inversa: .
  • Noção de igualdade de conjuntos (duas inclusões).

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de inversa de relação:
R^-1 = (b,a)mid (a,b)in R
Isto significa que “ está em ” é equivalente a “ está em ”.
Também a igualdade de conjuntos se mostra via duas inclusões: e .

Passo 3

Provar (a,b)in S ;Longrightarrow; (b,a)in S^-1 ;=;R :
  1. Pegue um par qualquer (b,a)in R ;Longrightarrow; (a,b)in R^-1 .
  2. Pela hipótese , a gente tem
  3. Agora, usando definição de inversa outra vez, de pra :
Logo, implica . Então .

Passo 4

Provar (a,b)in R^-1 ;Longrightarrow; (b,a)in R :
  1. Pegue um par (b,a)in R ;Longrightarrow; (b,a)in S^-1 ;Longrightarrow; (a,b)in S .
  2. Pela definição de inversa de , isso dá
  3. Mas , então
Logo, implica . Assim .

Resposta

Juntando as duas inclusões, concluímos .

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