Suponhamos que
e
sejam relações e
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Suponha que
e
são relações e que
. Prove que
.”
Conteúdo: teoria de relações e inversão de relações.
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de relações e inversão de relações.
O que vamos precisar:
- Definição de relação inversa:
. - Noção de igualdade de conjuntos (duas inclusões).
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de inversa de relação:
Isto significa que “
está em
” é equivalente a “
está em
”.
Também a igualdade de conjuntos se mostra via duas inclusões:
e
.
Também a igualdade de conjuntos
Passo 3
Provar
:
- Pegue um par qualquer
. - Pela hipótese
, a gente tem - Agora, usando definição de inversa outra vez, de
pra :
Logo,
implica
. Então
.
Passo 4
Provar
:
- Pegue um par
. - Pela definição de inversa de
, isso dá - Mas
, então
Logo,
implica
. Assim
.
Resposta
Juntando as duas inclusões, concluímos
.