a) O vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula em qualquer instante t.
b) O vetor tangente, e a equação do plano normal à essa curva no ponto P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1\right).
c) A curvatura e o raio do círculo osculador dessa curva no ponto P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1\right).
e pede:
a) o vetor velocidade \mathbf{v}(t) e aceleração \mathbf{a}(t);
b) o vetor tangente unitário e a equação do plano normal à curva no ponto P\bigl(\tfrac12,\tfrac13,1\bigr);
c) a curvatura \kappa e o raio do círculo osculador nesse mesmo ponto.
O conteúdo usado será cálculo vetorial (derivadas de curvas, vetor tangente unitário, fórmulas de curvatura) e geometria analítica de planos.
Passo 2
Para obter velocidade e aceleração, derivamos componente a componente:
a) \mathbf{v}(t)=\langle t,\,t^{2},\,1\rangle, \mathbf{a}(t)=\langle1,\,2t,\,0\rangle.
b) \mathbf{T}(1)=\tfrac1{\sqrt{3}}\langle1,1,1\rangle.
Plano normal em P\bigl(\tfrac12,\tfrac13,1\bigr):
(x-\tfrac12)+(y-\tfrac13)+(z-1)=0.
c) \displaystyle \kappa(1)=\frac{\sqrt{2}}{3}, \displaystyle \rho=\frac{3\sqrt{2}}{2}.