1^{\underline{\mathrm{a}}} (45 pontos) Questão:

Uma partícula se movimenta segundo a equação:
\mathbf{r}(t)=<\frac{t^{2}}{2}, \frac{t^{3}}{3}, t>

Encontre:

a) O vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula em qualquer instante t.
b) O vetor tangente, e a equação do plano normal à essa curva no ponto P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1\right).
c) A curvatura e o raio do círculo osculador dessa curva no ponto P\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1\right).

Passo 1

O enunciado dá a trajetória
\mathbf{r}(t)=\bigl\langle \tfrac{t^{2}}{2},\,\tfrac{t^{3}}{3},\,t\bigr\rangle
e pede:
a) o vetor velocidade \mathbf{v}(t) e aceleração \mathbf{a}(t);
b) o vetor tangente unitário e a equação do plano normal à curva no ponto
P\bigl(\tfrac12,\tfrac13,1\bigr);
c) a curvatura \kappa e o raio do círculo osculador nesse mesmo ponto.
O conteúdo usado será cálculo vetorial (derivadas de curvas, vetor tangente unitário, fórmulas de curvatura) e geometria analítica de planos.

Passo 2

Para obter velocidade e aceleração, derivamos componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle (t^{2}/2)',\,(t^{3}/3)',\,t'\bigr\rangle =\bigl\langle t,\,t^{2},\,1\bigr\rangle,
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) =\bigl\langle t',\,(t^{2})',\,1'\bigr\rangle =\bigl\langle 1,\,2t,\,0\bigr\rangle.

Passo 3

Para o vetor tangente unitário usamos
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|}, \quad \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{t^{2}+t^{4}+1}.
No ponto P temos z=t=1, logo
\mathbf{v}(1)=\langle1,1,1\rangle, \quad \|\mathbf{v}(1)\|=\sqrt{3}, \quad \mathbf{T}(1)=\frac{\langle1,1,1\rangle}{\sqrt{3}}.
O plano normal é o plano perpendicular a \mathbf{T}(1) e passando em P, logo sua equação é
\mathbf{T}(1)\cdot\bigl\langle x-\tfrac12,\;y-\tfrac13,\;z-1\bigr\rangle=0 \;\Longrightarrow\; (x-\tfrac12)+(y-\tfrac13)+(z-1)=0.

Passo 4

A curvatura de uma curva no espaço é
\kappa(t) =\frac{\|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\|}{\|\mathbf{v}(t)\|^{3}}.
Calculamos o produto vetorial
\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t) =\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ t&t^{2}&1\\\ 1&2t&0 \end{pmatrix} =\langle -2t,\;1,\;t^{2}\rangle,
\|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\| =\sqrt{(-2t)^{2}+1^{2}+(t^{2})^{2}} =\sqrt{4t^{2}+1+t^{4}}.
Em t=1:
\|\mathbf{v}(1)\|^{3}=(\sqrt{3})^{3}=3\sqrt{3}, \quad \|\mathbf{v}(1)\times\mathbf{a}(1)\|=\sqrt{6},
\kappa(1)=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{18}}{9} =\frac{3\sqrt{2}}{9} =\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

O raio do círculo osculador é o inverso da curvatura em t=1:
\rho=\frac1{\kappa(1)} =\frac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{3}} =\frac{3}{\sqrt{2}} =\frac{3\sqrt{2}}{2}.

Resposta

a) \mathbf{v}(t)=\langle t,\,t^{2},\,1\rangle, \mathbf{a}(t)=\langle1,\,2t,\,0\rangle.
b) \mathbf{T}(1)=\tfrac1{\sqrt{3}}\langle1,1,1\rangle.
Plano normal em P\bigl(\tfrac12,\tfrac13,1\bigr):
(x-\tfrac12)+(y-\tfrac13)+(z-1)=0.
c) \displaystyle \kappa(1)=\frac{\sqrt{2}}{3},
\displaystyle \rho=\frac{3\sqrt{2}}{2}.

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