2^{\underline{\mathrm{a}}} (15 pontos) Questão:

Calcule o raio de curvatura da curva plana y(x)=\frac{e^{-4 x}}{3}, na origem.

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura da curva
y(x) = \frac{e^{-4x}}{3}
na origem x=0. O conteúdo é curvatura de curvas planas. Para resolver, precisamos das derivadas primeira e segunda de y(x) e usar a fórmula do raio de curvatura em função de y' e y''.

Passo 2

Calcular as derivadas de y(x). Temos
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{e^{-4x}}{3}\Bigr) = -\frac{4e^{-4x}}{3},
y''(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-\frac{4e^{-4x}}{3}\Bigr) = \frac{16e^{-4x}}{3}.

Passo 3

Avaliar em x=0:
y'(0) = -\frac{4e^0}{3} = -\frac{4}{3}, \quad y''(0) = \frac{16e^0}{3} = \frac{16}{3}.

Passo 4

A fórmula da curvatura é
\kappa(x) = \frac{\lvert y''(x)\rvert}{\bigl(1 + (y'(x))^2\bigr)^{3/2}},
e o raio de curvatura é R(x) = 1/\kappa(x). Logo, em x=0,
R(0) = \frac{\bigl(1 + (y'(0))^2\bigr)^{3/2}}{\lvert y''(0)\rvert}.

Passo 5

Substituindo y'(0) = -\tfrac{4}{3} e y''(0)=\tfrac{16}{3} obtemos
1 + (y'(0))^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}, \quad \bigl(1 + (y'(0))^2\bigr)^{3/2} = \Bigl(\frac{25}{9}\Bigr)^{3/2} = \Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^3 = \frac{125}{27},
R(0) = \frac{\tfrac{125}{27}}{\tfrac{16}{3}} = \frac{125}{27} \cdot \frac{3}{16} = \frac{125}{144}.

Resposta

O raio de curvatura da curva y(x) na origem é
R = \frac{125}{144}.

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