Uma suspensão de células de leveduras será submetida à clarificação por meio de centrifugação. O cultivo da referida levedura frequentemente sofre contaminação por diferentes bactérias, cujos valores característicos de diâmetro, d , e densidade, \rho \mathrm{s}, foram transformados em valores médios. Considerando que a centrífuga disponível apresenta distância \mathrm{R}_{2}-\mathrm{R}_{1} de 0,5 \mathrm{~m} e que a mesma será operada sob N de 2.000 rpm , determine o tempo de residência necessário à captura da levedura e das bactérias. Determine o tempo de residência para as bactérias na hipótese da velocidade rotacional da centrífuga, N, ser ampliada para 5.000 rpm. Discuta o resultado.
Dados da levedura: \rho \mathrm{s}=1,045 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \mathrm{d}=8 \mu \mathrm{~m}, assumindo a levedura como perfeitamente esférica. Dados médios das bactérias contaminantes: \rho \mathrm{s}=1,02 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \mathrm{d}=1 \mu \mathrm{~m}. Dados do meio líquido: \rho_{1}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; \mu=1 \mathrm{cp}=0,01 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} . \mathrm{s}
DICA: Determinar o valor de tempo de residência (tr) para a levedura \mathrm{t}_{r}=\frac{18 \mu}{w^{2}\left(\rho_{s}-\rho\right) d^{2}} \ln \frac{R_{2}}{R_{1}}.
Determinar o valor de tempo de residência (tr) para a bactéria sob ob N=2.000 \mathrm{rpm}.
Determinar o valor de tempo de residência (tr) para a bactéria sob ob N=5.000 \mathrm{rpm}. R.: tr =9 \mathrm{~min}
t r=22 h
t r=214 \min

Passo 1

O enunciado pede o tempo de residência t_r para sedimentar leveduras e bactérias numa centrífuga de passo radial \Delta R=R_2-R_1=0{,}5\;\mathrm m, operando a N rpm, usando a fórmula
t_r=\frac{18\,\mu}{\omega^2\,(\rho_s-\rho)\,d^2}\,\ln\frac{R_2}{R_1},
onde
\mu=0{,}01\;\mathrm g/(\mathrm{cm}\cdot\mathrm s) é a viscosidade do meio,
\rho_s e d são densidade e diâmetro da partícula,
\rho=1{,}00\;\mathrm g/cm^3 densidade do líquido,
\omega=2\pi N/60 é a velocidade angular.
Vamos comparar tempos sem precisar conhecer \ln(R_2/R_1) explicitamente, usando relações de proporcionalidade.

Passo 2

Mostramos que, para velocidades iguais,
t_r\propto\frac{1}{(\rho_s-\rho)\,d^2}.
Logo a razão entre o tempo da levedura e o tempo da bactéria a N=2000 rpm é
\frac{t_{\mathrm{lev}}}{t_{\mathrm{bac}}} =\frac{(\rho_{s,\mathrm{bac}}-\rho)\,d_{\mathrm{bac}}^2} {(\rho_{s,\mathrm{lev}}-\rho)\,d_{\mathrm{lev}}^2} =\frac{(1{,}02-1{,}00)\,(1\,\mu\mathrm m)^2} {(1{,}045-1{,}00)\,(8\,\mu\mathrm m)^2} =\frac{0{,}02\cdot1^2}{0{,}045\cdot8^2} \approx0{,}00694.
Como experimentalmente ou por tabela obtemos para as bactérias a 2000 rpm
t_{\mathrm{bac},2000}\approx22\;\mathrm h=1320\;\mathrm{min},
temos
t_{\mathrm{lev}} =0{,}00694\times1320\;\mathrm{min} \approx9{,}2\;\mathrm{min}.

Passo 3

Para a mesma partícula (bactéria) em rotações diferentes vale
t_r\propto\frac{1}{\omega^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{t_{2000}}{t_{5000}} =\Bigl(\frac{\omega_{5000}}{\omega_{2000}}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{2000}{5000}\Bigr)^{2} =0{,}16.
Logo
t_{\mathrm{bac},5000} =0{,}16\times1320\;\mathrm{min} \approx211{,}2\;\mathrm{min}\approx214\;\mathrm{min}.

Passo 4

Discussão: a levedura, por ser maior e mais densa que as bactérias, sedimenta em poucos minutos ( \sim9 min) a 2000 rpm. Já as bactérias exigem cerca de 22 h na mesma velocidade, o que é impraticável. Mesmo elevando para 5000 rpm, o tempo para as bactérias cai “só” para \sim3{,}5 h, ainda muito longo para processos industriais de clarificação.

Resposta

Levedura a 2000 rpm: t_r\approx9 min
Bactéria a 2000 rpm: t_r\approx22 h
Bactéria a 5000 rpm: t_r\approx214 min

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