Se T: R^2 R^3 é uma transformação linear tal que T(1,-1)=(2,-2,4), T(2,1)=(1,-1,2)
d) T é injetora? T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^2toR^3,
com
T(1,-1)=(2,-2,4),
T(2,1)=(1,-1,2),
e pede para decidir se T é injetora e se é sobrejetora.
Vamos usar a definição de injetividade ( ker T=0) e de sobrejetividade ( Im T=R^3), além do Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Verificando injetividade:
T é injetora se e somente se ker T=0. Equivalente a dizer que imagens de dois vetores independentes em R^2 sejam também independentes em R^3.
Note que
T(1,-1)=(2,-2,4)=2,(1,-1,2) e T(2,1)=(1,-1,2)
Logo
T(1,-1)-2T(2,1)=0 ;Longrightarrow; Tl((1,-1)-2(2,1)r)=T(-3,-3)=0,
porém (-3,-3)neq(0,0). Assim ker T contém um vetor não nulo, ou seja ker Tneq0 e T não é injetora.

Passo 3

Verificando sobrejetividade:
Para toda transformação linear de R^2 em R^3 vale
dimIm T<=dimR^2=2<3=dimR^3
Logo a imagem de T não pode preencher todo R^3, isto é, Im TneqR^3. Portanto T não é sobrejetora.

Resposta

T não é injetora e não é sobrejetora.

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