Se
é uma transformação linear tal que
d)
é injetora?
é sobrejetora? Justifique.
d)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
,
com
,
,
e pede para decidir se é injetora e se é sobrejetora.
Vamos usar a definição de injetividade ( ) e de sobrejetividade (
), além do Teorema da Dimensão (rank–nullity).
com
e pede para decidir se
Vamos usar a definição de injetividade (
Passo 2
Verificando injetividade:
é injetora se e somente se
. Equivalente a dizer que imagens de dois vetores independentes em
sejam também independentes em
.
Note que
Note que
Logo
porém
. Assim
contém um vetor não nulo, ou seja
e
não é injetora.
Passo 3
Verificando sobrejetividade:
Para toda transformação linear de em
vale
Para toda transformação linear de
Logo a imagem de
não pode preencher todo
, isto é,
. Portanto
não é sobrejetora.