Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se T: V longrightarrow W é uma transformação linear então ela leva o elemento neutro de V no elemento neutro de W.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se T: V longrightarrow W é uma transformação linear, então ela leva o elemento neutro de V no elemento neutro de W.” Aqui, estamos lidando com o conteúdo de transformações lineares em Álgebra Linear. Precisamos verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e, dependendo disso, provar ou dar um contra-exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação T: V longrightarrow W é linear se, para quaisquer vetores u, v in V e qualquer escalar c, as seguintes propriedades são satisfeitas:
  1. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)

Passo 3

Agora, o elemento neutro em um espaço vetorial é o vetor zero. Então, 0V é o vetor zero no espaço V, e 0W é o vetor zero no espaço W.

Passo 4

Para verificar se T(0V) = 0W, vamos usar as propriedades da transformação linear.
Vamos considerar que 0V é o vetor zero em V. Segundo a propriedade de homogeneidade, temos:
T(0V) = T(0 cdot 0V) = 0 cdot T(0V)
Isso implica que T(0V) é igual a zero vezes T(0V), ou seja:
T(0V) = 0 cdot T(0V) = 0W

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se T: V longrightarrow W é uma transformação linear, então T(0V) = 0W.

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