Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se
é uma transformação linear então ela leva o elemento neutro de
no elemento neutro de
.
Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é uma transformação linear, então ela leva o elemento neutro de
no elemento neutro de
.” Aqui, estamos lidando com o conteúdo de transformações lineares em Álgebra Linear. Precisamos verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e, dependendo disso, provar ou dar um contra-exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são satisfeitas:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Agora, o elemento neutro em um espaço vetorial é o vetor zero. Então,
é o vetor zero no espaço
, e
é o vetor zero no espaço
.
Passo 4
Para verificar se
, vamos usar as propriedades da transformação linear.
Vamos considerar que
é o vetor zero em
. Segundo a propriedade de homogeneidade, temos:
Isso implica que
é igual a zero vezes
, ou seja:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é uma transformação linear, então
.