A tabela abaixo mostra a probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y.
c|cccc|c hline $P(x, y)$ & y 1 & y 2 & y 3 & y 4 & $P(X=x)$ hline x 1 & 0,125 & a & 0,1 & 0,125 & hline x 2 & 0,05 & 0,06 & b & 0,05 & hline x 3 & c & 0,09 & 0,06 & 0,075 & hline $P(Y=y)$ & & & & & 1 hline y 1 y 2 y 3 y 4 X
x 1 0,125 a 0,1 0,125
x 2 0,05 0,06 b 0,05
x 3 c 0,09 0,06 0,075
Y 1
Encontre os valores de a , b e c, para que as variáveis e sejam independentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a tabela da probabilidade conjunta de X e Y com três valores desconhecidos (a, b e c). A idea é achar a, b e c de modo que X e Y sejam independentes, ou seja,
P(X=x, Y=y) = P(X=x),P(Y=y)para todo x,y
Conteúdo: probabilidade conjunta, marginais e independência de variáveis discretas. Vamos precisar:
  1. Somar todos os valores pra garantir que a soma seja 1.
  2. Calcular as probabilidades marginais e .
  3. Impor em três casos para resolver a, b, c.

Passo 2

Primeiro, a soma de todas as entradas tem de ser 1. As somas por linha são:
  • Linha (0,35 + a)+(0,16 + b)+(0,225 + c) = 0,735 + (a+b+c) = 1 : a + b + c = 1 - 0,735 = 0,265
  • Linha :
  • Linha :
    Somando tudo:
Logo

Passo 3

Agora vamos às marginais.
Para P(X=1) = 0,35 + a, P(X=2) = 0,16 + b, P(X=3) = 0,225 + c :
P(Y=1) = 0,125 + 0,05 + c = 0,175 + c,
Para P(Y=2) = a + 0,06 + 0,09 = 0,15 + a, :
P(Y=3) = 0,1 + b + 0,06 = 0,16 + b,
P(Y=4) = 0,125 + 0,05 + 0,075 = 0,25

Passo 4

Independência: cada célula tem de satisfazer
P(xi,yj)=P(X=xi),P(Y=yj)
Escolhendo 3 células chave (uma para cada incógnita):
  1. Para a = P(1,2) = P(X=1),P(Y=2) = (0,35+a),(0,15+a) :
b = P(2,3) = (0,16+b),(0,16+b)
  1. Para c = P(3,1) = (0,225+c),(0,175+c) :
  1. Para :

Passo 5

Resolvendo cada equação:



  1. ou .



  2. ou .



  3. ou .

Passo 6

Ainda falta a condição . Vamos testar as combinações menores (pois as outras dão soma >1):
  • Se , então
    .
    Funciona direitinho.
As outras combinações somam muito mais que 0,265, então não servem.

Resposta

boxeda=0,15, b=0,04, c=0,075

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