A tabela abaixo mostra a probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas
e
.
y 1
y 2
y 3
y 4
x 1
0,125
a
0,1
0,125
x 2
0,05
0,06
b
0,05
x 3
c
0,09
0,06
0,075
1
Encontre os valores de a , b e c, para que as variáveis
e
sejam independentes.
|
y 1 | y 2 | y 3 | y 4 |
|
x 1 | 0,125 | a | 0,1 | 0,125 | |
x 2 | 0,05 | 0,06 | b | 0,05 | |
x 3 | c | 0,09 | 0,06 | 0,075 | |
|
1 |
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a tabela da probabilidade conjunta de X e Y com três valores desconhecidos (a, b e c). A idea é achar a, b e c de modo que X e Y sejam independentes, ou seja,
Conteúdo: probabilidade conjunta, marginais e independência de variáveis discretas. Vamos precisar:
- Somar todos os valores pra garantir que a soma seja 1.
- Calcular as probabilidades marginais
e . - Impor
em três casos para resolver a, b, c.
Passo 2
Primeiro, a soma de todas as entradas tem de ser 1. As somas por linha são:
- Linha
: - Linha
: - Linha
:
Somando tudo:
Logo
Passo 3
Agora vamos às marginais.
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Independência: cada célula tem de satisfazer
Escolhendo 3 células chave (uma para cada incógnita):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Resolvendo cada equação:
-
ou . -
ou . -
ou .
Passo 6
Ainda falta a condição
. Vamos testar as combinações menores (pois as outras dão soma >1):
- Se
, então
.
Funciona direitinho.
As outras combinações somam muito mais que 0,265, então não servem.