A tabela apresenta constantes de velocidades medidas em três temperaturas para a reação, a qual está envolvida na produção de óxidos de nîtrogênio em momentos de combustão interna para a reação, a qual está envolvida
[
O(g)+N_{2}(g) → NO(g)+N(g)
]
Determine a energia de ativação da reação em Kj mol-1, e o algoritmo obtido que rege o tratamento de dados para a determinação de Ea.
k(mol L^{-1} s^{-1}) Temperatura (K)
4,4 × 10^{2} 2000
2,5 × 10^{5} 3000
5,9 × 10^{6} 4000
Tratamento de dados: R20,9999 a (coeficiente angular) - 38016; b (coeficiente linear) 25,10

Passo 1

O enunciado pede para determinar a energia de ativação da reação \mathrm{O(g)+N_{2}(g)\to NO(g)+N(g)} em \mathrm{kJ\,mol^{-1}} e apresentar o algoritmo (o procedimento/expressão) usado para obter E_a. As informações dadas são os pares (k,T) da tabela e o resultado do tratamento de dados (regressão):
\begin{array}{ll} k=4,4\times 10^{2}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}, & T=2000\\ \mathrm{K},\\[4pt] k=2,5\times 10^{5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}, & T=3000\\ \mathrm{K},\\[4pt] k=5,9\times 10^{6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}, & T=4000\\ \mathrm{K}. \end{array}
O enunciado também fornece o resultado do ajuste linear (tratamento de dados): coeficiente angular a=-38016 e coeficiente linear b=25,10. (Não tenho certeza sobre o texto “R20,9999”; interpreto que seja o coeficiente de correlação próximo de 0,9999, mas isso não é necessário para calcular E_a.) Vou usar a constante dos gases R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.]

Passo 2

Apresentação da relação fundamental (Arrhenius) e o que cada símbolo significa.
A equação de Arrhenius é
k = A\,e^{-E_{a}/(R\,T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade (unidade dada na tabela),
  • A é o fator pré-exponencial (ou frequência de colisões efetivas),
  • E_{a} é a energia de ativação (em \mathrm{J\,mol^{-1}} ou \mathrm{kJ\,mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases ( 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Para linearizar e obter E_a por regressão usamos o logaritmo natural:
\ln k = \ln A - \frac{E_{a}}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Isto é uma equação de reta do tipo y = b + a x com y=\ln k e x=1/T, onde o coeficiente angular a vale a=-E_a/R e o coeficiente linear b=\ln A.

Passo 3

Explico o algoritmo prático para tratamento de dados (passos que faria na prova):
  1. Calcular x_i=\dfrac{1}{T_i} para cada temperatura.
  2. Calcular y_i=\ln k_i para cada constante de velocidade (usar log natural).
  3. Plotar y_i versus x_i e ajustar uma reta por regressão linear (ou, em prova rápida, usar dois pontos extremos para obter a inclinação aproximada).
  4. Obter o coeficiente angular a (slope). Como a=-\dfrac{E_a}{R}, então E_a=-a\cdot R.
  5. O coeficiente linear b \ln A=b, ou seja A=e^{b}.
Vou aplicar esse algoritmo aos dados fornecidos (usando a regressão já dada para precisão).

Passo 4

Calculo de x_i=1/T (mostro os valores; usar vírgula como separador decimal):
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{2000}=0,0005\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{3000}=0,000333333\\ \mathrm{K^{-1}},
\frac{1}{T_3}=\frac{1}{4000}=0,00025\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Calculo de y_i=\ln k_i (log natural):
\ln(4,4\times 10^{2})=\ln(4,4)+\ln(10^{2})\approx 1,4816+4,6052=6,0868,
\ln(2,5\times 10^{5})=\ln(2,5)+\ln(10^{5})\approx 0,9163+11,5129=12,4292,
\ln(5,9\times 10^{6})=\ln(5,9)+\ln(10^{6})\approx 1,7749+13,8155=15,5904.

Passo 6

Cálculo da inclinação usando os dois pontos extremos (2000 K e 4000 K) — método rápido que dá praticamente o mesmo resultado do ajuste:
a=\frac{\ln k_{3}-\ln k_{1}}{\frac{1}{T_{3}}-\frac{1}{T_{1}}} =\frac{15,5904-6,0868}{0,00025-0,0005} =\frac{9,5036}{-0,00025}=-38014{,}4.
Isto concorda muito bem com o coeficiente angular fornecido a=-38016 (diferença muito pequena, atribuível a arredondamentos/regressão).

Passo 7

Cálculo da energia de ativação a partir do coeficiente angular (usando o valor fornecido a=-38016 para manter o resultado do tratamento):
a=-\frac{E_{a}}{R}\quad\Rightarrow\quad E_{a}=-a\cdot R.
Substituindo a=-38016 e R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}:
E_{a}=38016\times 8,314 \approx 316065\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\,mol^{-1}}:
E_{a}\approx 316{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 8

(Complemento útil) Cálculo do fator pré-exponencial A a partir do coeficiente linear b=25,10 (fornecido):
\ln A = b = 25,10 \quad\Rightarrow\quad A = e^{25,10}\approx 7,95\times 10^{10}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}.

Passo 9

Resumo do algoritmo final (passo a passo prático que você pode aplicar na prova):
\text{(i) } \text{Usar } \ln k=\ln A-\frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
\text{(ii) } \text{Fazer regressão linear de }y=\ln k\text{ vs }x=1/T.ã
\text{(iii) } \text{Do ajuste, obter }a\\ (\text{inclinação})\text{ e }b\\ (\text{intercepto}).çã
\text{(iv) }E_a=-a\cdot R\quad\text{e}\quad A=e^{b}.

Resposta

E_{a}=316{,}1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}
Algoritmo: usar \ln k=\ln A-\dfrac{E_{a}}{R}\cdot\dfrac{1}{T}; ajustar reta \ln k vs 1/T; inclinação a=-E_a/R\Rightarrow E_a=-aR; intercepto b=\ln A\Rightarrow A=e^{b}.

Exercícios relacionados