A tabela a seguir apresenta dados de uma amostra de 1077 familias residentes numa certa região da cidade de São Paulo, com informações sobre o número de automóveis e o número de aparelhos de TV que a família possui.
Automóveis Aparelhos de TV
0 1 2
0 110 235 120
1 51 122 178
2 15 84 162
Com base nas informações da tabela acima, deseja-se verificar se a quantidade de aparelhos de TV e a de automóveis estão associadas. O valor da estatística de teste é igual a 111,75. Determine o valor-p correspondente, conclua e interprete sua conclusão sobre o problema utilizando um nível de significância de c|ccc hline mu.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma tabela com dados de 1077 famílias de São Paulo, mostrando quantos carros e aparelhos de TV cada família possui. O objetivo é verificar se há uma relação entre o número de automóveis e de TVs que as famílias têm. Para resolver isso, vamos usar o teste do qui-quadrado de independência, que nos ajuda a saber se duas variáveis categóricas estão associadas. Precisamos do valor do teste (já fornecido como 111,75), do nível de significância (1%) e entender um pouco sobre distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste do qui-quadrado de independência. Ele verifica se existe uma associação entre duas variáveis categóricas em uma tabela de contingência. Nesse caso, as variáveis são o número de automóveis e o número de aparelhos de TV nas famílias.

Passo 3

O valor do teste do qui-quadrado ( chi^2) foi dado como 111,75. Para interpretar esse valor, precisamos compará-lo com um valor crítico da distribuição qui-quadrado ou calcular o valor-p correspondente. O valor-p nos indica a probabilidade de obtermos um valor do teste tão extremo quanto o observado, assumindo que não há associação entre as variáveis.

Passo 4

Primeiro, determinamos os graus de liberdade (df) para o teste. A fórmula é:
df = (número de linhas - 1) times (número de colunas - 1) úú
No nosso caso, temos 3 categorias de automóveis e 3 de TVs, então:
df = (3-1) times (3-1) = 2 times 2 = 4

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor-p correspondente ao chi^2 = 111,75 com 4 graus de liberdade. Usando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou uma calculadora estatística, vemos que valores tão altos de chi^2 resultam em valores-p extremamente pequenos, muito menores que 0,01.

Passo 6

Com o valor-p sendo menor que 0,01 (1%), rejeitamos a hipótese nula. A hipótese nula afirma que não há associação entre o número de automóveis e o número de aparelhos de TV nas famílias.

Passo 7

Então, nossa conclusão é que existe uma associação significativa entre a quantidade de automóveis e a quantidade de aparelhos de TV que as famílias possuem na região analisada.

Resposta

O valor-p é menor que 0,01. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que há uma associação significativa entre o número de automóveis e o número de aparelhos de TV nas famílias da região estudada.

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