A tabela a seguir indica a iluminação fornecida por uma lâmpada em função da distância.
d(m) 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50
I (lux) 200,0 128,0 88,39 65,30 50,00 39,50 32,00
Determine a iluminação fornecida pela lâmpada a uma distância de 1,60 m, usando:
um polinômio de interpolação de grau 3.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma lâmpada que fornece certa iluminação I (em lux) a várias distâncias d (em m). A tabela é:
c|ccccccc d (m)&1,00&1,25&1,50&1,75&2,00&2,25&2,50hline I (lux)&200,0&128,0&88,39&65,30&50,00&39,50&32,00
Queremos estimar I em d=1,60,m usando um polinômio interpolador de grau 3.
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial (método de Lagrange).
O que precisamos:
  1. Escolher 4 pontos próximos a d=1,60,m.
  2. Montar o polinômio de Lagrange de grau 3.
  3. Avaliar esse polinômio em d=1,60,m.

Passo 2

Teoria da interpolação de Lagrange (grau 3):
Dado 4 pontos (xj,yj), j=0,1,2,3, o polinômio interpolador é
P(x);=;sumj=0^3 yj,ellj(x), onde ellj(x)=prodsubstack0<= i<=3ine jx-xixj-xi
Cada ellj(x) é uma “base” que vale 1 em xj e 0 nos outros xi.

Passo 3

Escolha dos 4 pontos mais próximos de d=1,60,m (centrais na tabela):
(x0,y0)=(1,25,128,0),; (x1,y1)=(1,50,88,39),; (x2,y2)=(1,75,65,30),; (x3,y3)=(2,00,50,00)
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P(d)=128,ell0(d)+88,39,ell1(d)+65,30,ell2(d)+50,ell3(d)

Passo 4

Agora calculo cada ellj(1,60):
  1. ell0(1,60)=dfrac(1,60-1,50)(1,60-1,75)(1,60-2,00)(1,25-1,50)(1,25-1,75)(1,25-2,00) =dfrac0,1cdot(-0,15)cdot(-0,4)(-0,25)cdot(-0,5)cdot(-0,75) =!-0,064
  2. ell1(1,60)=dfrac(1,60-1,25)(1,60-1,75)(1,60-2,00)(1,50-1,25)(1,50-1,75)(1,50-2,00) =dfrac0,35cdot(-0,15)cdot(-0,4)0,25cdot(-0,25)cdot(-0,5) =0,672
  3. ell2(1,60)=dfrac(1,60-1,25)(1,60-1,50)(1,60-2,00)(1,75-1,25)(1,75-1,50)(1,75-2,00) =dfrac0,35cdot0,1cdot(-0,4)0,5cdot0,25cdot(-0,25) =0,448
  4. ell3(1,60)=dfrac(1,60-1,25)(1,60-1,50)(1,60-1,75)(2,00-1,25)(2,00-1,50)(2,00-1,75) =dfrac0,35cdot0,1cdot(-0,15)0,75cdot0,5cdot0,25 =-0,056

Passo 5

Avalio P(1,60) somando:
P(1,60)=128(-0,064)+88,39(0,672)+65,30(0,448)+50( -0,056) approx77,7 lux

Resposta

A iluminação a d=1,60,m, segundo o polinômio de grau 3, é cerca de boxed77,7 lux.

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