A tabela a seguir indica a iluminação fornecida por uma lâmpada em função da distância.
d(m) 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50
I (lux) 200,0 128,0 88,39 65,30 50,00 39,50 32,00
Determine a iluminação fornecida pela lâmpada a uma distância de 1,60 m, usando:
um polinômio de interpolação de grau 2.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma lâmpada e uma tabela que diz quanta iluminação (em lux) ela dá a várias distâncias . O enunciado tá pedindo pra gente achar a iluminação a m usando um polinômio de interpolação de grau 2. Isso faz parte de “Interpolação Polinomial” e, especificamente, a gente vai usar a fórmula de Lagrange, que monta um polinômio de grau 2 passando por três pontos da tabela.

Passo 2

Primeiro escolhemos três pontos próximos de (x1,y1) = (1,50,;88,39), (x2,y2) = (1,75,;65,30), (x3,y3) = (2,00,;50,00) . Vou pegar
P2(x)=sumj=1^3 yj,ellj(x),
A fórmula de Lagrange para o polinômio ellj(x)=prodsubstackm=1mneq j^3x - xmxj - xm é
onde

Passo 3

Agora a gente calcula cada ell1(x) =(x-1,75)(x-2,00)(1,50-1,75)(1,50-2,00) =(x-1,75)(x-2,00)(-0,25),(-0,50) =(x-1,75)(x-2,00)0,125 :
  1. Para ell1(1,60) =(1,60-1,75)(1,60-2,00)0,125 =(-0,15),(-0,40)0,125 =0,060,125 =0,48 :
y1,ell1(1,60) =88,39times0,48 approx42,4272
Logo,
ell2(x) =(x-1,50)(x-2,00)(1,75-1,50)(1,75-2,00) =(x-1,50)(x-2,00)(0,25),(-0,25) =(x-1,50)(x-2,00)-0,0625
Então
ell2(1,60) =(0,10),(-0,40)-0,0625 =-0,04-0,0625 =0,64,
  1. Para y2,ell2(1,60) =65,30times0,64 approx41,792 :
ell3(x) =(x-1,50)(x-1,75)(2,00-1,50)(2,00-1,75) =(x-1,50)(x-1,75)(0,50),(0,25) =(x-1,50)(x-1,75)0,125
Logo,
ell3(1,60) =(0,10),(-0,15)0,125 =-0,0150,125 =-0,12,
y3,ell3(1,60) =50,00times(-0,12) =-6,0
  1. Para :
Logo,

Passo 4

Somando tudo:
P2(1,60) =42,4272 + 41,792 - 6,0 approx78,2192

Resposta

A iluminação a boxed78,22 lux m, pelo polinômio de interpolação de grau 2, é aproximadamente

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