Na tabela a seguir são apresentadas as notas de uma amostra de 18 alunos:
Nota
59
60
64
65
67
68
72
73
91
99
100
\mathrm{~N}^{\underline{\mathbf{o}}} de alunos
1
1
1
3
1
2
1
2
3
1
1
Com base nesses dados, responda:
(a) Calcule as principais medidas de posição: média, mediana e moda.
(b) Calcule as medidas de dispersão: amplitude, variância e desvio padrão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) as medidas de posição — média, mediana e moda; (b) as medidas de dispersão — amplitude, variância e desvio padrão.
Peguei os dados da tabela fornecida (nota e número de alunos). A tabela fornece as seguintes notas com suas frequências:
\,59 (freq 1,),
\,60 (freq 1,),
\,64 (freq 1,),
\,65 (freq 3,),
\,67 (freq 1,),
\,68 (freq 2,),
\,72 (freq 1,),
\,73 (freq 2,),
\,91 (freq 3,),
\,99 (freq 1,),
\,100 (freq 1).
Observação importante: somei as frequências que estão na tabela e deu \,17 alunos no total, embora o enunciado diga “amostra de 18 alunos”. Não sei o motivo dessa discrepância. Vou proceder usando exatamente as frequências que estão na tabela (ou seja, n=17), e explicarei cada passo para que você faça o mesmo na prova se receber dados semelhantes.
Passo 2
Calcular a média: primeiro é útil montar \sum f_i x_i (produto da nota pela sua frequência). Para cada linha (peguei estes números da tabela):
A definição de média aritmética ponderada (para dados com frequência) é
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{n},
onde \sum f_i x_i é a soma dos produtos nota×frequência e n=\sum f_i é o total de observações. Aqui n=17. Então
\bar{x}=\frac{1271}{17}\approx74,76.
Interpretação rápida: a média é o “centro de massa” das notas; se você redistribuir as notas igualmente entre os 17 alunos, cada um teria cerca de 74,76 pontos.
Passo 3
Calcular a mediana: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para dados com frequência, construímos as frequências acumuladas (peguei as frequências da tabela):
Como n=17 (ímpar), a mediana é a observação na posição \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{17+1}{2}=9 (ou seja, a 9ª observação ordenada). Pela tabela acumulada, a 9ª observação pertence à nota \,68 (porque a acumulação chega a 9 em 68). Logo a mediana é
\text{mediana} = 68.
Passo 4
Calcular a moda: a moda é o(s) valor(es) com maior frequência. Olhando as frequências da tabela, as maiores frequências são 3 ocorrências para as notas \,65 e \,91. Assim o conjunto de moda é bimodal:
\text{moda} = \{65,\;91\}.
Explicação curta: quando há empate na maior frequência, temos mais de uma moda.
Passo 5
Calcular a amplitude (range): é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor observados,
\text{amplitude} = \max x - \min x = 100 - 59 = 41.
Interpretação: a dispersão total dos dados é 41 pontos.
Passo 6
Calcular a variância: primeiro explico a fórmula e por que escolhi ela. Como os dados são uma amostra (a tabela diz “amostra”), a prática padrão é usar a variância amostral com divisor n-1, isto é
Observação: este é o valor da variância amostral (com divisor n-1). Se alguém pedisse a variância populacional dividiria por n em vez de n-1 — expliquei a escolha porque o enunciado diz “amostra”.
Passo 7
Calcular o desvio padrão: é simplesmente a raiz quadrada da variância amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{190,56617647}\approx13,80.
Interpretação: em média (de forma aproximadamente), as notas se desviam cerca de 13,8 pontos em relação à média.