Na tabela a seguir são apresentadas as notas de uma amostra de 18 alunos:
Nota 59 60 64 65 67 68 72 73 91 99 100
\mathrm{~N}^{\underline{\mathbf{o}}} de alunos 1 1 1 3 1 2 1 2 3 1 1
Com base nesses dados, responda:
(a) Calcule as principais medidas de posição: média, mediana e moda.
(b) Calcule as medidas de dispersão: amplitude, variância e desvio padrão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) as medidas de posição — média, mediana e moda; (b) as medidas de dispersão — amplitude, variância e desvio padrão.
Peguei os dados da tabela fornecida (nota e número de alunos). A tabela fornece as seguintes notas com suas frequências:
  • \,59 (freq 1,),
  • \,60 (freq 1,),
  • \,64 (freq 1,),
  • \,65 (freq 3,),
  • \,67 (freq 1,),
  • \,68 (freq 2,),
  • \,72 (freq 1,),
  • \,73 (freq 2,),
  • \,91 (freq 3,),
  • \,99 (freq 1,),
  • \,100 (freq 1).
Observação importante: somei as frequências que estão na tabela e deu \,17 alunos no total, embora o enunciado diga “amostra de 18 alunos”. Não sei o motivo dessa discrepância. Vou proceder usando exatamente as frequências que estão na tabela (ou seja, n=17), e explicarei cada passo para que você faça o mesmo na prova se receber dados semelhantes.

Passo 2

Calcular a média: primeiro é útil montar \sum f_i x_i (produto da nota pela sua frequência). Para cada linha (peguei estes números da tabela):
\begin{aligned} 59\cdot1 &= 59,\\\\ 60\cdot1 &= 60,\\\\ 64\cdot1 &= 64,\\\\ 65\cdot3 &= 195,\\\\ 67\cdot1 &= 67,\\\\ 68\cdot2 &= 136,\\\\ 72\cdot1 &= 72,\\\\ 73\cdot2 &= 146,\\\\ 91\cdot3 &= 273,\\\\ 99\cdot1 &= 99,\\\\ 100\cdot1 &= 100. \end{aligned}
Somando todos os produtos obtém-se
\sum f_i x_i = 1271.
A definição de média aritmética ponderada (para dados com frequência) é
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{n},
onde \sum f_i x_i é a soma dos produtos nota×frequência e n=\sum f_i é o total de observações. Aqui n=17. Então
\bar{x}=\frac{1271}{17}\approx74,76.
Interpretação rápida: a média é o “centro de massa” das notas; se você redistribuir as notas igualmente entre os 17 alunos, cada um teria cerca de 74,76 pontos.

Passo 3

Calcular a mediana: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Para dados com frequência, construímos as frequências acumuladas (peguei as frequências da tabela):
\begin{aligned} 59&:\\ \text{acum }1,\\\\ 60&:\\ \text{acum }2,\\\\ 64&:\\ \text{acum }3,\\\\ 65&:\\ \text{acum }6,\\\\ 67&:\\ \text{acum }7,\\\\ 68&:\\ \text{acum }9,\\\\ 72&:\\ \text{acum }10,\\\\ 73&:\\ \text{acum }12,\\\\ 91&:\\ \text{acum }15,\\\\ 99&:\\ \text{acum }16,\\\\ 100&:\\ \text{acum }17. \end{aligned}
Como n=17 (ímpar), a mediana é a observação na posição \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{17+1}{2}=9 (ou seja, a 9ª observação ordenada). Pela tabela acumulada, a 9ª observação pertence à nota \,68 (porque a acumulação chega a 9 em 68). Logo a mediana é
\text{mediana} = 68.

Passo 4

Calcular a moda: a moda é o(s) valor(es) com maior frequência. Olhando as frequências da tabela, as maiores frequências são 3 ocorrências para as notas \,65 e \,91. Assim o conjunto de moda é bimodal:
\text{moda} = \{65,\;91\}.
Explicação curta: quando há empate na maior frequência, temos mais de uma moda.

Passo 5

Calcular a amplitude (range): é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor observados,
\text{amplitude} = \max x - \min x = 100 - 59 = 41.
Interpretação: a dispersão total dos dados é 41 pontos.

Passo 6

Calcular a variância: primeiro explico a fórmula e por que escolhi ela. Como os dados são uma amostra (a tabela diz “amostra”), a prática padrão é usar a variância amostral com divisor n-1, isto é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i} f_i\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2.
Uma forma mais prática, quando se tem \sum f_i x_i e \sum f_i x_i^2, é usar a fórmula equivalente
s^2=\frac{\displaystyle \sum_i f_i x_i^2 - \frac{(\sum_i f_i x_i)^2}{n}}{\,n-1\,}.
Aqui: \sum f_i x_i já foi calculado ( =1271), e agora calculamos \sum f_i x_i^2 (peguei os quadrados a partir da tabela):
\begin{aligned} 59^2\cdot1 &= 3481,\\\\ 60^2\cdot1 &= 3600,\\\\ 64^2\cdot1 &= 4096,\\\\ 65^2\cdot3 &= 4225\cdot3=12675,\\\\ 67^2\cdot1 &= 4489,\\\\ 68^2\cdot2 &= 4624\cdot2=9248,\\\\ 72^2\cdot1 &= 5184,\\\\ 73^2\cdot2 &= 5329\cdot2=10658,\\\\ 91^2\cdot3 &= 8281\cdot3=24843,\\\\ 99^2\cdot1 &= 9801,\\\\ 100^2\cdot1 &= 10000. \end{aligned}
Somando tudo:
\sum f_i x_i^2 = 98075.
Agora aplicamos a fórmula:
\begin{aligned} s^2 &= \frac{98075 - \dfrac{1271^2}{17}}{17-1} = \frac{98075 - \dfrac{1615441}{17}}{16}. \end{aligned}
Calculando os termos numéricos:
\frac{1615441}{17}\approx95025,94117647,
então
98075 - \frac{1615441}{17}\approx3049,05882353.
Dividindo por 16:
s^2 \approx \frac{3049,05882353}{16}\approx190,56617647.
Arredondando comumente para duas casas decimais:
s^2 \approx 190,57.
Observação: este é o valor da variância amostral (com divisor n-1). Se alguém pedisse a variância populacional dividiria por n em vez de n-1 — expliquei a escolha porque o enunciado diz “amostra”.

Passo 7

Calcular o desvio padrão: é simplesmente a raiz quadrada da variância amostral:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{190,56617647}\approx13,80.
Interpretação: em média (de forma aproximadamente), as notas se desviam cerca de 13,8 pontos em relação à média.

Resposta

(a) Média: \displaystyle \bar{x}=\frac{1271}{17}\approx74,76
(a) Mediana: 68
(a) Moda: 65 e 91 (bimodal)
(b) Amplitude: 41
(b) Variância (amostral): s^2\approx190,57
(b) Desvio padrão (amostral): s\approx13,80

Exercícios relacionados