1. A tábua abaixo define uma operação . que confere ao conjunto uma estrutura de grupo.
    Pede-se determinar:
    a) o subgrupo gerado por ;
    b) a ordem de d;
    c) os geradores de ;
    d) tal que .
.

Passo 1

Estamos diante de um grupo finito (G,cdot) com seis elementos dado por uma tabela. O enunciado pede: o subgrupo gerado por b; a ordem de d; os geradores de G; e um xin G tal que bcdot xcdot c=d^-1. Vamos usar a ideia de que esse grupo é cíclico de ordem 6, isomorfo a Z6.

Passo 2

Observamos que a é gerador: acdot a=b, a^3=c, a^6=e. Assim podemos identificar
e=a^0, a=a^1, b=a^2, c=a^3, d=a^4, f=a^5

Passo 3

Para o subgrupo gerado por , note que tem ordem . Então

Passo 4

A ordem de d=a^4 é 6/gcd(4,6)=3, pois d^3=a^12=a^6=e.

Passo 5

Os geradores de G são os elementos de ordem 6, ou seja a^k com gcd(k,6)=1. Isso só acontece para k=1 e k=5, isto é, a,f.

Passo 6

Para achar x tal que bcdot xcdot c=d^-1, primeiro d^-1=b (já que dcdot b=e). Então
bcdot xcdot c=b e, como c^-1=c, temos bcdot x=bcdot c=f. Multiplicando à esquerda por b^-1=b^2=d segue x=dcdot f=c.

Resposta

a) lang<= brang<==e,b,d
b) ord(d)=3
c) geradores de G: a,f
d) x=c

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