- A tábua abaixo define uma operação . que confere ao conjunto
uma estrutura de grupo.
Pede-se determinar:
a) o subgrupo gerado por
;
b) a ordem de d;
c) os geradores de
;
d)
tal que
.
.
Pede-se determinar:
a) o subgrupo gerado por
b) a ordem de d;
c) os geradores de
d)
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Passo 1
Estamos diante de um grupo finito
com seis elementos dado por uma tabela. O enunciado pede: o subgrupo gerado por
; a ordem de
; os geradores de
; e um
tal que
. Vamos usar a ideia de que esse grupo é cíclico de ordem 6, isomorfo a
.
Passo 2
Observamos que
é gerador:
,
,
. Assim podemos identificar
Passo 3
Para o subgrupo gerado por
, note que
tem ordem
. Então
Passo 4
A ordem de
é
, pois
.
Passo 5
Os geradores de
são os elementos de ordem 6, ou seja
com
. Isso só acontece para
e
, isto é,
.
Passo 6
Para achar
tal que
, primeiro
(já que
). Então
e, como
, temos
. Multiplicando à esquerda por
segue
.
Resposta
a)
b)
c) geradores de :
d)
b)
c) geradores de
d)