Um tanque, aberto na parte superior, tem uma abertura de 3 cm de diâmetro, que está 5 m abaixo do nível da água no tanque. Qual seria o volume de líquido que sairá, por minuto, através dessa abertura?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tanque aberto por cima com uma abertura circular de 3 cm de diâmetro, localizada a 5 metros abaixo do nível da água. A pergunta é: quanto de líquido sai dessa abertura a cada minuto?
Vamos usar conceitos de hidrodinâmica, mais especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a calcular a velocidade com que o líquido sai por uma abertura. Para resolver isso, vamos precisar:
- Lei de Torricelli: para encontrar a velocidade do líquido.
- Área da abertura: para calcular o volume que sai.
- Conversão de unidades: para chegar no volume por minuto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade com que a água sai da abertura usando a Lei de Torricelli. A fórmula é:
Onde:
- $ v $ é a velocidade do líquido.
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s² $).
- $ h $ é a altura da coluna de água acima da abertura (5 metros).
Vamos substituir os valores:
Então, a água está saindo do tanque a aproximadamente 9,90 metros por segundo.
Passo 3
Agora, precisamos descobrir a área da abertura por onde a água está saindo. Como a abertura é circular, usamos a fórmula da área do círculo:
Onde:
- $ A $ é a área.
- $ r $ é o raio da abertura.
Sabemos que o diâmetro é 3 cm, então o raio $ r $ é metade disso: $ 1,5 , cm $. Vamos converter para metros:
Agora, calculamos a área:
Então, a área da abertura é aproximadamente 0,00070686 metros quadrados.
Passo 4
Com a velocidade e a área conhecidas, podemos calcular o fluxo volumétrico, que é o volume de água que sai por segundo. A fórmula é:
Onde:
- $ Q $ é o fluxo volumétrico.
- $ A $ é a área da abertura.
- $ v $ é a velocidade do líquido.
Substituindo os valores:
Então, a água está saindo a uma taxa de aproximadamente 0,006993 metros cúbicos por segundo.
Passo 5
Agora, o exercício pede o volume por minuto, então precisamos converter de metros cúbicos por segundo para metros cúbicos por minuto. Sabemos que há 60 segundos em um minuto:
Portanto, o volume de líquido que sai através da abertura a cada minuto é de aproximadamente 0,42 metros cúbicos por minuto.
Resposta
O volume de líquido que sai através da abertura é aproximadamente 0,42 metros cúbicos por minuto.