Um tanque de armazenamento de gás com 1 metro cúbico de volume está acoplado a um sistema de bombeamento que deve extrair o gás do reservatório. Considerando que o sistema de bombeamento promove a retirada do gás com vazão constante de 10 litros por segundo, utilize a conservação da massa para determinar o tempo em que a densidade do gás dentro do tanque será igual a metade da densidade inicial.
a) 6,9 segundos
b) 69,3 segundos
c) 693,0 segundos
d) 0,69 segundos
e) 6930 segundos

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante de 1;m ^3 em que o gás é retirado com vazão volumétrica constante de 10 L/s. Queremos saber em que tempo a densidade \rho(t) dentro do tanque fica igual à metade da densidade inicial \rho_0. Para isso, vamos usar a conservação de massa e a relação entre massa, densidade e volume.

Passo 2

Chamando de M(t) a massa de gás no tanque em função do tempo, temos a densidade
\rho(t)=\frac{M(t)}{V}
onde V=1;m ^3. A vazão volumétrica de saída é Q=10 L/s =0,01 m ^3/s, e como o gás sai com a mesma densidade interna, a equação de balanço de massa é
\frac{dM}{dt} = -\,\rho(t)\,Q = -\,\frac{M(t)}{V}\,Q.

Passo 3

Essa equação diferencial se escreve
\frac{dM}{dt} = -\frac{Q}{V}\,M(t).
Separamos as variáveis e integramos:
\int_{M_0}^{M(t)}\frac{dM}{M} = -\frac{Q}{V}\int_{0}^{t}dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\frac{M(t)}{M_0} = -\frac{Q}{V}\,t.
Logo,
M(t) = M_0\,e^{-\frac{Q}{V}t}.

Passo 4

Como \rho(t)=M(t)/V e \rho_0=M_0/V, temos
\rho(t)=\rho_0\,e^{-\frac{Q}{V}t}.
Queremos \rho(t)=\tfrac12\,\rho_0, ou seja
\tfrac12 = e^{-\frac{Q}{V}t} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{Q}{V}\,t = \ln\tfrac12 = -\ln2 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{V}{Q}\,\ln2.

Passo 5

Substituindo V=1;m ^3 e Q=0,01;m ^3/s, obtemos
t = \frac{1}{0,01}\,\ln2 = 100\times0,693 = 69,3\text{ s}.

Resposta

b) 69,3 segundos

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