Um tanque bem agitado contém inicialmente (
) 10.000 kg de uma solução de metanol diluído (
, onde
é a fração mássica de álcool). Um fluxo constante de
de água pura é introduzido no tanque, e uma retirada de
da solução (com água e álcool) é realizada. Estas vazões mássicas são consideradas constantes. Assumindo que a massa específica da solução é constante ao longo do processo, e que a massa total também permanece constante ( 10.000 kg de solução), calcule o tempo para que a porcentagem de álcool caia para
. R.:
.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque contínuo bem agitado contendo inicialmente
kg de solução com fração mássica de álcool
. Entra água pura a
,kg/min e sai solução à mesma vazão, de modo que a massa total no tanque permanece constante em
,kg. Nosso objetivo é determinar o tempo
para que a fração mássica de álcool caia a
. O conteúdo utilizado será o balanço de massa de álcool e a resolução de uma EDO do tipo decaimento exponencial.
Passo 2
Definimos
como a massa de álcool no tanque em kg. Como a água de entrada não traz álcool, a vazão de entrada de álcool é zero. A vazão de saída de álcool é a concentração atual
vezes a vazão mássica de saída (
,kg/min). Portanto o balanço de massa de álcool dá:
Passo 3
Temos a EDO de separação de variáveis
Integrando ambos os lados,
Passo 4
Usamos a condição inicial
kg para determinar
:
Logo a solução geral é
Passo 5
Queremos
, ou seja
kg. Então
Calculando,