Um tanque bem agitado contém inicialmente ( t=0 ) 10.000 kg de uma solução de metanol diluído ( w_{\mathrm{A}}=5 \%, onde w_{\mathrm{A}} é a fração mássica de álcool). Um fluxo constante de 500 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} de água pura é introduzido no tanque, e uma retirada de 500 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} da solução (com água e álcool) é realizada. Estas vazões mássicas são consideradas constantes. Assumindo que a massa específica da solução é constante ao longo do processo, e que a massa total também permanece constante ( 10.000 kg de solução), calcule o tempo para que a porcentagem de álcool caia para w_{A}=1 \%. R.: 32,2 \mathrm{~min}.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque contínuo bem agitado contendo inicialmente 10\,000 kg de solução com fração mássica de álcool w_{A}(0)=5\%. Entra água pura a 500,kg/min e sai solução à mesma vazão, de modo que a massa total no tanque permanece constante em 10\,000,kg. Nosso objetivo é determinar o tempo t para que a fração mássica de álcool caia a w_{A}(t)=1\%. O conteúdo utilizado será o balanço de massa de álcool e a resolução de uma EDO do tipo decaimento exponencial.

Passo 2

Definimos A(t) como a massa de álcool no tanque em kg. Como a água de entrada não traz álcool, a vazão de entrada de álcool é zero. A vazão de saída de álcool é a concentração atual \bigl(\tfrac{A}{10\,000}\bigr) vezes a vazão mássica de saída ( 500,kg/min). Portanto o balanço de massa de álcool dá:
\frac{dA}{dt} = 0 - \frac{A(t)}{10\,000}\times 500 \;=\;-0,05\,A(t).

Passo 3

Temos a EDO de separação de variáveis
\frac{dA}{dt} = -0,05\,A \quad\Longrightarrow\quad \frac{dA}{A} = -0,05\,dt.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dA}{A} = -0,05 \int dt \;\Longrightarrow\; \ln A = -0,05\,t + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial A(0)=w_{A}(0)\times 10\,000 = 0{,}05\times 10\,000 = 500 kg para determinar C:
\ln 500 = C.
Logo a solução geral é
A(t) = 500\,e^{-0,05\,t}.

Passo 5

Queremos w_{A}(t)=\tfrac{A(t)}{10\,000}=0{,}01, ou seja A(t)=100 kg. Então
500\,e^{-0,05\,t} = 100 \quad\Longrightarrow\quad e^{-0,05\,t} = 0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad -0,05\,t = \ln(0{,}2) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\ln(0{,}2)}{0,05}.
Calculando,
t = \frac{\ln(5)}{0,05}\approx 32{,}2\text{ min}.

Resposta

32,2 min.

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