Usando a definição de derivada, calcule a derivada de cada função dada:
$f(x)=\frac{1}{x} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=1x usando a definição de derivada (princípio do quociente incremental). Vamos lembrar que a derivada é dada pelo limite
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Substituímos f(x+h)=1x+h e f(x)=1x no quociente incremental:
f(x+h)-f(x)h =1x+h-1xh

Passo 3

Para simplificar, colocamos as frações sobre o mesmo denominador:
1x+h-1x =x-(x+h)x(x+h) =-hx(x+h),
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1x+h-1xh =-hx(x+h)cdot1h =-1x(x+h)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando hto 0:
f'(x) =limhto 0l(-1x(x+h)r) =-1xcdot x =-1x^2

Resposta

f'(x)=-1x^2

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