Um tanque cilíndrico de diâmetro
, possui um dreno por uma abertura de diâmetro
, em seu fundo. A velocidade do líquido saindo do tanque é aproximadamente
, em que y é a altura do fundo do tanque à superfície livre. Se o tanque inicialmente está cheio com água a
, determine a profundidade da água em t=6s, t=12 s e t=18 s. Trace o gráfico de y (m) em função de t para os primeiros 18 segundos.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Tem um tanque cilíndrico de diâmetro D = 50 mm, com um dreno no fundo de diâmetro d = 5 mm. O líquido sai com velocidade aproximada pela fórmula de Torricelli:
,
onde y é a altura do líquido acima do dreno. O tanque começa cheio com m. Precisamos achar a profundidade y do líquido em t = 6 s, 12 s e 18 s, e ainda esboçar o gráfico y×t nos primeiros 18 s.
Conteúdo envolvido:
onde y é a altura do líquido acima do dreno. O tanque começa cheio com
Conteúdo envolvido:
- Equação de continuidade (conservação de vazão)
- Torricelli
- Equações diferenciais de 1ª ordem e separação de variáveis
- Integração e condição inicial
Passo 2
Primeiro, montamos a equação de continuidade. A vazão que sai pelo dreno vem da variação do volume do tanque.
- Área da seção do tanque (A₁):
- Área do dreno (A₂):
Pela conservação de massa (vazão que entra no dreno = diminuição do volume):
Logo:
Passo 3
Agora separamos as variáveis para integrar. Escrevendo
Calculando
:
E com
,m/s²:
A equação fica
Integramos de
a y e de 0 a t:
Passo 4
Resolvendo a integral e aplicando a condição inicial
:
Como
, temos
Passo 5
Bora calcular nos tempos pedidos:
- t = 6 s:
- t = 12 s:
- t = 18 s:
Passo 6
Para esboçar o gráfico y×t de 0 a 18 s, a gente plota os pontos:
t (s) | y (m) |
---|---|
0 | 0,4000 |
6 | 0,2496 |
12 | 0,1345 |
18 | 0,0547 |
A curva é decrescente e convexa (fica “aberta” pra baixo), porque y(t) é o quadrado de uma função que cai linearmente.
Resposta
y(6 s) ≈ 0,25 m
y(12 s) ≈ 0,13 m
y(18 s) ≈ 0,055 m
y(12 s) ≈ 0,13 m
y(18 s) ≈ 0,055 m
Gráfico: curva quadrática decrescente passando pelos pontos acima.