Um tanque cilíndrico de diâmetro mathrmD=50 mm, possui um dreno por uma abertura de diâmetro mathrmd=5 mm, em seu fundo. A velocidade do líquido saindo do tanque é aproximadamente V=raiz2 g y, em que y é a altura do fundo do tanque à superfície livre. Se o tanque inicialmente está cheio com água a mathrmy0=0,4 m, determine a profundidade da água em t=6s, t=12 s e t=18 s. Trace o gráfico de y (m) em função de t para os primeiros 18 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. Tem um tanque cilíndrico de diâmetro D = 50 mm, com um dreno no fundo de diâmetro d = 5 mm. O líquido sai com velocidade aproximada pela fórmula de Torricelli:
,
onde y é a altura do líquido acima do dreno. O tanque começa cheio com m. Precisamos achar a profundidade y do líquido em t = 6 s, 12 s e 18 s, e ainda esboçar o gráfico y×t nos primeiros 18 s.
Conteúdo envolvido:
  • Equação de continuidade (conservação de vazão)
  • Torricelli
  • Equações diferenciais de 1ª ordem e separação de variáveis
  • Integração e condição inicial

Passo 2

Primeiro, montamos a equação de continuidade. A vazão que sai pelo dreno vem da variação do volume do tanque.
  1. Área da seção do tanque (A₁):
A1 = pi D^24 = pi (0,05)^24 = 0,000625,pi;m^2
  1. Área do dreno (A₂):
A2 = pi d^24 = pi (0,005)^24 = 0,00000625,pi;m^2
Pela conservação de massa (vazão que entra no dreno = diminuição do volume):
A1,dydt = -,A2,V e V = raiz2,g,y
Logo:
dydt = -A2A1,raiz2,g,y

Passo 3

Agora separamos as variáveis para integrar. Escrevendo
dydt = -k,raizy, onde k = A2A1,raiz2g
Calculando A2A1 = 0,00000625,pi0,000625,pi = 0,01 :
k = 0,01;raiz2cdot9,81 approx 0,01cdot4,43 = 0,0443;s^-1
E com dyraizy = -,k,dt ,m/s²:
integraly0^y(t) !y^-1/2dy = -k integral0^t !dt ;;Longrightarrow;; 2l[raizyr]y0^y(t) = -k,t
A equação fica
Integramos de a y e de 0 a t:

Passo 4

Resolvendo a integral e aplicando a condição inicial 2l(raizy(t) - raizy0r) = -k,t ;;Longrightarrow;; raizy(t) = raizy0 - k2,t :
raizy(t) = 0,6325 - 0,02215,t Longrightarrow y(t) = l(0,6325 - 0,02215,tr)^2
Como , temos

Passo 5

Bora calcular nos tempos pedidos:
  1. t = 6 s:
raizy(6) = 0,6325 - 0,02215cdot6 = 0,6325 - 0,1329 = 0,4996, y(6) = (0,4996)^2 approx 0,2496;m
  1. t = 12 s:
raizy(12) = 0,6325 - 0,02215cdot12 = 0,6325 - 0,2658 = 0,3667, y(12) = (0,3667)^2 approx 0,1345;m
  1. t = 18 s:
raizy(18) = 0,6325 - 0,02215cdot18 = 0,6325 - 0,3987 = 0,2338, y(18) = (0,2338)^2 approx 0,0547;m

Passo 6

Para esboçar o gráfico y×t de 0 a 18 s, a gente plota os pontos:
t (s) y (m)
0 0,4000
6 0,2496
12 0,1345
18 0,0547
A curva é decrescente e convexa (fica “aberta” pra baixo), porque y(t) é o quadrado de uma função que cai linearmente.

Resposta

y(6 s) ≈ 0,25 m
y(12 s) ≈ 0,13 m
y(18 s) ≈ 0,055 m
Gráfico: curva quadrática decrescente passando pelos pontos acima.

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