2.2 Utilizando o princípio da homogeneidade dimensional, estabelecer a relação matemática que existe entre a energia fornecida por uma bomba (P), o peso específico do fluido (\gamma), a vazão (Q) e a altura de carga fornecida pela bomba (H m).

Passo 1

O enunciado pede para, usando o princípio da homogeneidade dimensional, estabelecer a relação matemática entre as grandezas fornecidas:
  • A energia (taxa de energia) fornecida por uma bomba: P.
  • O peso específico do fluido: \gamma.
  • A vazão volumétrica: Q.
  • A altura de carga fornecida pela bomba: H (em metros).
O que se solicita explicitamente: encontrar uma fórmula que relacione P, \gamma, Q e H apenas a partir da homogeneidade dimensional (ou seja, sem usar dados experimentais). Vou assumir que P representa potência (energia por unidade de tempo), que é a interpretação usual quando se fala em energia “fornecida por uma bomba” num contexto de fluídos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões fundamentais de cada grandeza (usar M para massa, L para comprimento e T para tempo) e explicar por que.
  • Dimensão de P (potência): potência é energia por tempo. Energia (trabalho) tem dimensão força × distância; força tem dimensão M L T^{-2}, multiplicando por distância L dá energia com dimensão M L^{2} T^{-2}. Dividindo por tempo T obtém-se potência:
[P] = M L^{2} T^{-3}.
  • Dimensão de \gamma (peso específico): \gamma é peso por volume. Peso é uma força (massa × aceleração), com dimensão M L T^{-2}. Volume tem dimensão L^{3}. Assim
[\gamma] = \frac{M L T^{-2}}{L^{3}} = M L^{-2} T^{-2}.
  • Dimensão de Q (vazão volumétrica): volume por tempo, portanto
[Q] = L^{3} T^{-1}.
  • Dimensão de H (altura de carga): é um comprimento
[H] = L.
É sempre bom checar: multiplicando [\gamma], [Q] e [H] veremos se conseguimos recuperar [P] (isso é a intuição da homogeneidade dimensional).

Passo 3

Aplicando o método padrão de análise dimensional, escrevemos uma relação do tipo lei potência com um fator adimensional desconhecido k\): \[P = k\,\gamma^{a} Q^{b} H^{c},
onde k é adimensional e a,b,c são expoentes reais que vamos determinar impondo igualdade de dimensões em ambos os lados.
Agora escrevemos as dimensões do lado direito:
[\gamma^{a} Q^{b} H^{c}] = (M L^{-2} T^{-2})^{a}\,(L^{3} T^{-1})^{b}\,(L)^{c}.
Combine os expoentes de M, L e T:
= M^{a}\; L^{-2a+3b+c}\; T^{-2a - b}.
Igualando com [P] = M^{1} L^{2} T^{-3} obtemos o sistema linear para os expoentes:
\begin{cases} a = 1 &\text{(expoente de \(M)},\[4pt] -2a + 3b + c = 2 &(expoente de L),\[4pt] -2a - b = -3 &(expoente de T). \end{cases}]]

Passo 4

Resolver o sistema. Da primeira equação vem imediatamente
a = 1.
Substituindo em -2a - b = -3:
-2\cdot 1 - b = -3 \quad\Rightarrow\quad -2 - b = -3 \quad\Rightarrow\quad b = 1.
Substituindo a=1 e b=1 em -2a + 3b + c = 2:
-2\cdot 1 + 3\cdot 1 + c = 2 \quad\Rightarrow\quad -2 + 3 + c = 2 \quad\Rightarrow\quad 1 + c = 2 \quad\Rightarrow\quad c = 1.
Portanto a=b=c=1. Voltando para a relação proposta:
P = k\,\gamma Q H.

Passo 5

Interpretação física e observações práticas (didática e útil para a prova):
  • A análise dimensional mostrou que a única combinação (até um fator adimensional) compatível dimensionalmente é P\propto \gamma Q H.
  • O fator k é adimensional. Em hidráulica, a potência hidráulica efetivamente entregue ao fluido (sem perdas) é
P_{\text{hidráulica}} = \gamma Q H,á
ou seja, corresponde ao caso k=1. Portanto a expressão que acostuma aparecer é
P = \gamma Q H.
  • Em aplicações reais, há perdas e a bomba tem uma eficiência \eta (adimensional, 0<\eta\le 1). Se P_{\text{in}} for a potência fornecida à bomba (entrada elétrica ou mecânica), então
P_{\text{in}} = \frac{\gamma Q H}{\eta}.
  • Dica prática para a prova: aplique sempre o passo de escrever dimensões de cada variável, supor a forma multiplicativa com expoentes desconhecidos, igualar expoentes e resolver o sistema linear. Isso é um padrão fácil de aplicar e rápido de executar.

Resposta

P = k\,\gamma Q H (caso ideal sem perdas: P = \gamma Q H).

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