2.2 Utilizando o princípio da homogeneidade dimensional, estabelecer a relação matemática que existe entre a energia fornecida por uma bomba
, o peso específico do fluido
, a vazão
e a altura de carga fornecida pela bomba
.
Passo 1
O enunciado pede para, usando o princípio da homogeneidade dimensional, estabelecer a relação matemática entre as grandezas fornecidas:
- A energia (taxa de energia) fornecida por uma bomba:
. - O peso específico do fluido:
. - A vazão volumétrica:
. - A altura de carga fornecida pela bomba:
(em metros).
O que se solicita explicitamente: encontrar uma fórmula que relacione
,
,
e
apenas a partir da homogeneidade dimensional (ou seja, sem usar dados experimentais). Vou assumir que
representa potência (energia por unidade de tempo), que é a interpretação usual quando se fala em energia “fornecida por uma bomba” num contexto de fluídos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões fundamentais de cada grandeza (usar
para massa,
para comprimento e
para tempo) e explicar por que.
- Dimensão de
(potência): potência é energia por tempo. Energia (trabalho) tem dimensão força × distância; força tem dimensão , multiplicando por distância dá energia com dimensão . Dividindo por tempo obtém-se potência:
- Dimensão de
(peso específico): é peso por volume. Peso é uma força (massa × aceleração), com dimensão . Volume tem dimensão . Assim
- Dimensão de
(vazão volumétrica): volume por tempo, portanto
- Dimensão de
(altura de carga): é um comprimento
É sempre bom checar: multiplicando
,
e
veremos se conseguimos recuperar
(isso é a intuição da homogeneidade dimensional).
Passo 3
Aplicando o método padrão de análise dimensional, escrevemos uma relação do tipo lei potência com um fator adimensional desconhecido
onde
é adimensional e
são expoentes reais que vamos determinar impondo igualdade de dimensões em ambos os lados.
Agora escrevemos as dimensões do lado direito:
Combine os expoentes de
,
e
:
Igualando com
obtemos o sistema linear para os expoentes:
)},\[4pt] -2a + 3b + c = 2 &(expoente de
),\[4pt] -2a - b = -3 &(expoente de
). \end{cases}]]
Passo 4
Resolver o sistema. Da primeira equação vem imediatamente
Substituindo em
:
Substituindo
e
em
:
Portanto
. Voltando para a relação proposta:
Passo 5
Interpretação física e observações práticas (didática e útil para a prova):
- A análise dimensional mostrou que a única combinação (até um fator adimensional) compatível dimensionalmente é
. - O fator
é adimensional. Em hidráulica, a potência hidráulica efetivamente entregue ao fluido (sem perdas) é
ou seja, corresponde ao caso
. Portanto a expressão que acostuma aparecer é
- Em aplicações reais, há perdas e a bomba tem uma eficiência
(adimensional, ). Se for a potência fornecida à bomba (entrada elétrica ou mecânica), então
- Dica prática para a prova: aplique sempre o passo de escrever dimensões de cada variável, supor a forma multiplicativa com expoentes desconhecidos, igualar expoentes e resolver o sistema linear. Isso é um padrão fácil de aplicar e rápido de executar.