Um tanque contém inicialmente 100 litros de água pura. Então, água salgada, contendo 30 gramas de sal por litro, passa a ser bombeada para o tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
Qual é a concentração de sal no tanque após muito tempo (t infty) ?
Observação: Concentração =Q / V

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura (volume constante de 100 L), onde água salgada (30 g de sal por litro) entra a 10 L/min e sai à mesma vazão. O objetivo é encontrar a concentração de sal no tanque quando o tempo cresce muito (t→∞). Vamos usar o modelo de equação diferencial para sistemas de mistura.

Passo 2

Definimos Q(t) como a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t. A taxa de entrada de sal é o produto da vazão pela concentração de entrada, isto é, 10·30 (g/min). A taxa de saída de sal é a vazão de saída multiplicada pela concentração instantânea no tanque, isto é, 10·(Q(t)/100). Assim montamos a equação diferencial:
dQdt = 10 times 30 - 10 times Q(t)100
Para determinar o estado estacionário (t→∞), basta impor dQ/dt=0, pois a quantidade de sal se estabiliza. Assim:
$$
0 = 10 \cdot 30 - 10 \cdot \frac{Q_\infty}{100}
$$

Passo 3

Resolvendo para Q_∞ obtenho:
10cdot 30 = 10 cdot Qinfty100
300 = Qinfty100
Qinfty = 300 times 100 = 3000 g

Passo 4

Como o volume de solução no tanque permanece 100 L, a concentração de sal no limite t→∞ é Q_∞ dividido por 100 L:
Concentração = 3000100 = 30 g/Lçã

Resposta

30 g/L

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