Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(5 t+4 y) d t+(4 t-8 y^3) cdot d y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é
(5t+4y),dt + (4t-8y^3),dy = 0
O conteúdo aqui é de equações exatas. Para resolver, vamos primeiro identificar
M(t,y)=5t+4y, N(t,y)=4t-8y^3,
verificar se partial M/partial y = partial N/partial t e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(t,y) tal que
partial Fpartial t=M, partial Fpartial y=N

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(5t+4y) =4,
partial Npartial t =partialpartial t(4t-8y^3) =4
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe F(t,y) tal que partial F/partial t = M. Integramos M em relação a t:
F(t,y)=integral(5t+4y),dt =52t^2+4yt + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos partial F/partial y=N:
partial Fpartial y =4t + h'(y) stackrel!=4t-8y^3 ;Longrightarrow; h'(y)=-8y^3
Integrando em y:
h(y)=integral -8y^3,dy =-2y^4

Passo 5

Logo a função potencial é
F(t,y)=52t^2+4yt-2y^4
A solução geral, em forma implícita, é
F(t,y)=C,
ou seja
52t^2+4yt-2y^4=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

52t^2+4yt-2y^4=C

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