Um tanque de diesel para abastecimento da frota de sua transportadora (massa específica de 815
) tem seu modelo, de entrada e saída no tanque, puramente empírico. Um sistema de controle de processos mantém a vazão de entrada em função da altura, sendo no ponto de equilíbrio igual a 15h (h em metros e a vazão em
). A vazão de saída desse tanque é dada pela equação
(h em metros e a vazão em
). Calcule a altura de equilíbrio desse tanque quando a entrada e a saída estão abertas. Utilize o método de Newton, chute inicial
e erro menor do que 1 m
Resposta:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Vazão de entrada (fornecida pelo sistema de controle):
(unidade: ), onde é a altura em metros. Peguei essa expressão do enunciado. - Vazão de saída (empírica):
(unidade: ). Peguei essa expressão do enunciado. - Chute inicial para o método de Newton:
. - Critério de parada: erro menor do que
. Vou interpretar isso como a condição . - Observação: a massa específica informada (
) não é necessária para calcular a altura de equilíbrio dada a forma do enunciado (equilíbrio por vazões).
- Vazão de entrada (fornecida pelo sistema de controle):
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a altura de equilíbrio
do tanque quando a entrada e a saída estão abertas, usando o método de Newton com o chute e parando quando o erro for menor que .
- Calcular a altura de equilíbrio
Passo 2
Montar a equação que define o ponto de equilíbrio.
- Em equilíbrio as vazões se igualam:
- Substituindo as expressões dadas:
- Reescrevendo como uma função cuja raiz buscamos:
- Então precisamos encontrar
tal que Note: as soluções analíticas dessa equação são e , mas o exercício pede para aplicar o método de Newton a partir do chute dado; por isso vamos proceder numericamente e parar quando .
Passo 3
Explicar e deduzir a fórmula do método de Newton (bem didático).
- Ideia do método de Newton: aproximar a função por sua reta tangente no ponto atual
e usar a interseção dessa reta com o eixo como próximo chute . - A fórmula de iteração do método de Newton é
onde é a derivada de em relação a . - Para a nossa função
a derivada é - Portanto a iteração específica que usaremos é
- Observação prática: em cada passo calculamos
e , dividimos e subtraímos do para obter . Vamos calcular passo a passo a partir de .
Passo 4
Primeira iteração: calcular
a partir de
.
- Calcular
e :
- Aplicar a fórmula de Newton:
- Diferença entre iterações:
que ainda é maior que , logo continuamos.
Passo 5
Segunda iteração: calcular
a partir de
.
- Calcular
e :
- Aplicar a fórmula de Newton:
- Diferença entre iterações:
que ainda é maior que , então prosseguimos.
Passo 6
Terceira iteração: calcular
a partir de
.
- Calcular
e :
- Aplicar a fórmula de Newton:
Vamos calcular o valor numérico da fração: Portanto - Diferença entre iterações:
Agora temos , então satisfazemos o critério de parada pedido no enunciado.
Passo 7
Interpretação final do procedimento (encorajamento e nota prática).
- Aplicando o método de Newton com o chute
e a condição de parada , a iteração parou em - Observação: se fosse pedido um valor mais preciso (erro menor que, por exemplo,
), bastaria continuar as iterações até a diferença entre dois iterados consecutivos ficar abaixo desse limite. - Força aí — o processo converge rápido e o valor de equilíbrio obtido está muito próximo de
, que é a raiz exata não nula da equação de equilíbrio.