(3,0) Um tanque de diesel para abastecimento da frota de sua transportadora (massa específica de 815 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) tem seu modelo, de entrada e saída no tanque, puramente empírico. Um sistema de controle de processos mantém a vazão de entrada em função da altura, sendo no ponto de equilíbrio igual a 15h (h em metros e a vazão em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} ). A vazão de saída desse tanque é dada pela equação 1 . \mathrm{h}^{2} (h em metros e a vazão em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} ). Calcule a altura de equilíbrio desse tanque quando a entrada e a saída estão abertas. Utilize o método de Newton, chute inicial \mathrm{h}=30 \mathrm{~m} e erro menor do que 1 m
Resposta: \mathrm{h}= \_\_\_\_

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de entrada (fornecida pelo sistema de controle): Q_{\text{in}}=15h (unidade: \mathrm{m}^3/\mathrm{h}), onde h é a altura em metros. Peguei essa expressão do enunciado.
    • Vazão de saída (empírica): Q_{\text{out}}=1\cdot h^{2}=h^{2} (unidade: \mathrm{m}^3/\mathrm{h}). Peguei essa expressão do enunciado.
    • Chute inicial para o método de Newton: h_0=30\\ \mathrm{m}.
    • Critério de parada: erro menor do que 1\\ \mathrm{m}. Vou interpretar isso como a condição |h_{n+1}-h_n|<1\\ \mathrm{m}.
    • Observação: a massa específica informada ( 815\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) não é necessária para calcular a altura de equilíbrio dada a forma do enunciado (equilíbrio por vazões).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a altura de equilíbrio h do tanque quando a entrada e a saída estão abertas, usando o método de Newton com o chute h_0=30\\ \mathrm{m} e parando quando o erro for menor que 1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Montar a equação que define o ponto de equilíbrio.
  • Em equilíbrio as vazões se igualam: Q_{\text{in}} = Q_{\text{out}}.
  • Substituindo as expressões dadas: 15h = h^{2}.
  • Reescrevendo como uma função cuja raiz buscamos: f(h)=h^{2}-15h.
  • Então precisamos encontrar h tal que f(h)=0.Note: as soluções analíticas dessa equação são \,h=0 e \,h=15, mas o exercício pede para aplicar o método de Newton a partir do chute dado; por isso vamos proceder numericamente e parar quando |h_{n+1}-h_n|<1.

Passo 3

Explicar e deduzir a fórmula do método de Newton (bem didático).
  • Ideia do método de Newton: aproximar a função por sua reta tangente no ponto atual h_n e usar a interseção dessa reta com o eixo h como próximo chute h_{n+1}.
  • A fórmula de iteração do método de Newton é h_{n+1}=h_n-\frac{f(h_n)}{f'(h_n)},onde f'(h) é a derivada de f em relação a h.
  • Para a nossa função f(h)=h^{2}-15h a derivada é f'(h)=2h-15.
  • Portanto a iteração específica que usaremos é h_{n+1}=h_n-\frac{h_n^{2}-15h_n}{2h_n-15}.
  • Observação prática: em cada passo calculamos f(h_n) e f'(h_n), dividimos e subtraímos do h_n para obter h_{n+1}. Vamos calcular passo a passo a partir de h_0=30.

Passo 4

Primeira iteração: calcular h_1 a partir de h_0=30.
  • Calcular f(h_0) e f'(h_0): f(30)=30^{2}-15\cdot 30=900-450=450,
f'(30)=2\cdot 30-15=60-15=45.
  • Aplicar a fórmula de Newton: h_{1}=30-\frac{450}{45}=30-10=20.
  • Diferença entre iterações: |h_{1}-h_{0}|=|20-30|=10\\ \mathrm{m},que ainda é maior que 1\\ \mathrm{m}, logo continuamos.

Passo 5

Segunda iteração: calcular h_2 a partir de h_1=20.
  • Calcular f(h_1) e f'(h_1): f(20)=20^{2}-15\cdot 20=400-300=100,
f'(20)=2\cdot 20-15=40-15=25.
  • Aplicar a fórmula de Newton: h_{2}=20-\frac{100}{25}=20-4=16.
  • Diferença entre iterações: |h_{2}-h_{1}|=|16-20|=4\\ \mathrm{m},que ainda é maior que 1\\ \mathrm{m}, então prosseguimos.

Passo 6

Terceira iteração: calcular h_3 a partir de h_2=16.
  • Calcular f(h_2) e f'(h_2): f(16)=16^{2}-15\cdot 16=256-240=16,
f'(16)=2\cdot 16-15=32-15=17.
  • Aplicar a fórmula de Newton: h_{3}=16-\frac{16}{17}=16-\frac{16}{17}.Vamos calcular o valor numérico da fração: \frac{16}{17}\approx 0,941176\\ (\text{aproximado}).Portanto h_{3}\approx 16-0,941176=15,058824\\ \mathrm{m}.
  • Diferença entre iterações: |h_{3}-h_{2}|\approx |15,058824-16|=0,941176\\ \mathrm{m}.Agora temos |h_{3}-h_{2}|<1\\ \mathrm{m}, então satisfazemos o critério de parada pedido no enunciado.

Passo 7

Interpretação final do procedimento (encorajamento e nota prática).
  • Aplicando o método de Newton com o chute h_0=30\\ \mathrm{m} e a condição de parada |h_{n+1}-h_n|<1\\ \mathrm{m}, a iteração parou em h_{3}\approx 15,058824\\ \mathrm{m}.
  • Observação: se fosse pedido um valor mais preciso (erro menor que, por exemplo, 0,01\\ \mathrm{m}), bastaria continuar as iterações até a diferença entre dois iterados consecutivos ficar abaixo desse limite.
  • Força aí — o processo converge rápido e o valor de equilíbrio obtido está muito próximo de 15\\ \mathrm{m}, que é a raiz exata não nula da equação de equilíbrio.

Resposta

h=15,058824\\ \mathrm{m}

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