Seja \mathrm{F}(\beta, n, e_{\min }, e_{\max }) a representação de um sistema de ponto flutuante onde \beta é a base do sistema, n é o número de dígitos da mantissa e e_{\min } e e_{\max } são respectivamente o menor e o maior expoente.
Dado o sistema de ponto flutuante F(10,3,-4,5), obtenha a representação de número de ponto flutuante normalizado para os seguintes números:
-279.15

Passo 1

O enunciado dá o sistema de ponto flutuante F(10,3,-4,5) e pede a representação normalizada para o número -279,15.
Informações fornecidas:
  • \beta=10 (base decimal).
  • n=3 (número de dígitos significativos na mantissa).
  • e_{\min}=-4 e e_{\max}=5 (intervalo válido para o expoente).
  • número a representar: -279,15.
O que precisa ser entregue: a forma normalizada de ponto flutuante com 3 dígitos na mantissa e expoente dentro de [-4,5].

Passo 2

O que é uma representação normalizada (explicação didática):
  • Uma representação normalizada em base \beta tem a forma
\pm (d_0 . d_1 d_2 \ldots d_{n-1})_{\beta} \times \beta^{e},
onde:
  • d_0 é o primeiro dígito da mantissa e satisfaz 1 \le d_0 \le \beta-1 (ou seja, na base 10 o primeiro dígito é entre 1 e 9); isso garante normalização (não se permite que d_0=0).
  • d_1,d_2,\ldots são os dígitos seguintes, cada um em \{0,\dots,\beta-1\}.
  • A mantissa contém exatamente n dígitos significativos: d_0 mais n-1 dígitos após o ponto.
  • e é o expoente inteiro e deve estar no intervalo [e_{\min},e_{\max}].
  • Para representar um número real em ponto flutuante normalizado: escrever o número em notação científica na base \beta, obter a mantissa com mais dígitos do que n (para poder arredondar), e então arredondar a mantissa para n dígitos seguindo a regra de arredondamento adotada (aqui usaremos arredondamento para o mais próximo; em caso de empate adota-se arredondamento para o par — regra usual “round to nearest, ties to even” — embora neste problema específico não haja empate).

Passo 3

Expressar o número em notação científica (base 10) antes do arredondamento:
  • O número dado é -279,15.
  • Mover a vírgula duas casas à esquerda para obter a mantissa entre 1 e 9:
-279,15 = -2,7915 \times 10^{2}.
(Verificação rápida: -2,7915 \times 10^{2} = -2,7915 \times 100 = -279,15.)

Passo 4

Escolher os n=3 dígitos significativos e aplicar arredondamento:
  • A mantissa atual tem dígitos 2,7,9,1,5 (ou seja, 2,7915 com dígitos sucessivos d_0=2, d_1=7, d_2=9, d_3=1, d_4=5).
  • Queremos manter n=3 dígitos no total: d_0,d_1,d_2.
  • Olhamos o dígito seguinte (o quarto) para decidir o arredondamento: aqui o dígito d_3 é 1.
  • Regra de arredondamento: como d_3=1<5, não há arredondamento para cima; descartam-se os dígitos a partir de d_3.
  • Assim, a mantissa arredondada com 3 dígitos é 2,79 (ou seja, d_0=2, d_1=7, d_2=9).

Passo 5

Verificar o expoente resultante contra os limites:
  • O expoente obtido na notação científica foi e=2.
  • Checar se e está no intervalo permitido: -4 \le 2 \le 5. Está dentro do intervalo, portanto o número pode ser representado normalmente no formato do sistema dado.

Passo 6

Resumo dos componentes finais (sem repetir a forma final completa aqui, que está na seção de resposta):
  • sinal: negativo.
  • mantissa arredondada (com n=3 dígitos): 2,79.
  • expoente: 2, que está dentro de [ -4,5 ].

Resposta

-2,79 \times 10^{2}

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