(3,0) Uma reação reversível em um reator, simplificadamente, segue a seguinte equação: A \leftrightarrow B, sendo dado pela seguinte equação: -r a=k_{1} \cdot C_{A_{0}}\left(1-x-\frac{x}{k_{2}}\right).
No equilíbrio a reação para (-ra=0). Sendo a concentração inicial de A de 2 \mathrm{~mol} / \mathrm{l}, o k_{1}=5 \mathrm{e}-3 \mathrm{~s}^{-1} e k_{2}=4 \mathrm{e} 3 \mathrm{~s}^{-1}. Calcule numericamente pelo método da bissecção, a conversão de equilíbrio.
Resposta: \mathrm{x}= \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado nos dá uma reação reversível A \leftrightarrow B com a velocidade expressa por
-r_a = k_1 \cdot C_{A0}\left(1 - x - \frac{x}{k_2}\right).
No equilíbrio vale -r_a=0. Os dados fornecidos são:
  • concentração inicial de A: C_{A0} = 2\\ \mathrm{mol/L},
  • constante direta: k_1 = 5\times 10^{-3}\\ \mathrm{s^{-1}},
  • constante (informada) k_2 = 4\times 10^{3}\\ \mathrm{s^{-1}}.
O que a questão pede: calcular numericamente, pelo método da bissecção, a conversão de equilíbrio x tal que -r_a=0. A conversão x é uma fração, portanto procura-se uma raiz x no intervalo [0,1].

Passo 2

Escrever a equação do equilíbrio e a função cuja raiz queremos encontrar.
A condição de equilíbrio -r_a=0 implica
k_1\cdot C_{A0}\left(1 - x - \frac{x}{k_2}\right)=0.
Como k_1 e C_{A0} são não nulos, isso é equivalente a
1 - x - \frac{x}{k_2} = 0.
Definimos a função
f(x) = 1 - x - \frac{x}{k_2}.
Queremos encontrar x\in[0,1] tal que f(x)=0.
Observações rápidas (úteis para o método da bissecção):
f(0)=1>0,\qquad f(1)=1-1-\frac{1}{k_2}=-\frac{1}{k_2}<0,
logo há pelo menos uma raiz em (0,1) por continuidade. Temos um bom intervalo inicial [a,b]=[0,1].

Passo 3

Breve aula prática: o método da bissecção (resumo e critério de paragem).
  • Ideia: dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, a função muda de sinal e existe uma raiz. Calcula-se o ponto médio m=(a+b)/2. Se f(m)=0 acabou; senão escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde há mudança de sinal e repete-se.
  • Erro estimado: após n iterações o comprimento do intervalo é \frac{b-a}{2^{n}}. A meia largura atual é \frac{b-a}{2} e a raiz aproximada está dentro dessa meia-largura do ponto médio.
  • Critério prático usado aqui: parar quando a meia-largura do intervalo for menor que 10^{-6} (ou seja, \dfrac{b-a}{2}<10^{-6}), o que garante precisão suficiente para a conversão na prova. Alternativamente pode-se parar quando |f(m)|<10^{-9}, mas vamos usar a meia-largura.

Passo 4

Preparar a função com os valores numéricos para facilitar os cálculos.
Calcula-se o fator \displaystyle 1+\frac{1}{k_2}. Com k_2=4\times10^{3} temos
1+\frac{1}{k_2}=1+\frac{1}{4000}=1+0{,}00025=1{,}00025.
Assim
f(x)=1 - \bigl(1{,}00025\bigr)\,x.
Relembrando: f(0)=1 e f(1)=-0{,}00025. Vamos aplicar a bissecção em [0,1].

Passo 5

Primeiras iterações para ver o padrão (cada linha: m é o ponto médio, em seguida f(m) e a decisão do intervalo).
  • Iteração 1: a=0, b=1.
    m_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5,\qquad f(m_1)=1-1{,}00025\cdot0{,}5=0{,}499875>0.
    Mantém-se o subintervalo onde há mudança de sinal: agora [a,b]=[0{,}5,\,1].
  • Iteração 2:
    m_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75,\qquad f(m_2)=1-1{,}00025\cdot0{,}75=0{,}2498125>0.
    Nova escolha: [a,b]=[0{,}75,\,1].
  • Iteração 3:
    m_3=0{,}875,\qquad f(m_3)=0{,}12478125>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}875,\,1].
  • Iteração 4:
    m_4=0{,}9375,\qquad f(m_4)=0{,}062265625>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}9375,\,1].
  • Iteração 5:
    m_5=0{,}96875,\qquad f(m_5)=0{,}0310078125>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}96875,\,1].
  • Iteração 6:
    m_6=0{,}984375,\qquad f(m_6)=0{,}01537890625>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}984375,\,1].
Observação: os valores de f(m) são positivos enquanto m está abaixo da raiz; o procedimento vai aproximando-se pela direita.

Passo 6

Continuando as iterações até a meia-largura do intervalo ficar menor que 10^{-6}. Vou listar as iterações críticas onde o sinal muda e onde a meia-largura fica abaixo do critério.
  • Iteração 7: m_7=0{,}9921875,\qquad f(m_7)=0{,}007564453125>0\quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}9921875,\,1].
  • Iteração 8: m_8=0{,}99609375,\qquad f(m_8)=0{,}0036572265625>0\quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}99609375,\,1].
  • Iteração 9: m_9=0{,}998046875,\qquad f(m_9)=0{,}00170361328125>0\quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}998046875,\,1].
  • Iteração 10: m_{10}=0{,}9990234375,\qquad f(m_{10})=0{,}000726806640625>0\quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}9990234375,\,1].
  • Iteração 11: m_{11}=0{,}99951171875,\qquad f(m_{11})=0{,}0002384033203125>0\quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}99951171875,\,1].
  • Iteração 12: m_{12}=0{,}999755859375,\qquad f(m_{12})=1-1{,}00025\cdot m_{12}\approx -0{,}00000579834<0.Aqui o sinal já mudou (positivo em a, negativo em m_{12}), então o subintervalo onde a raiz está passa a ser [a,b]=[0{,}99951171875,\,0{,}999755859375].
Agora o comprimento do intervalo é
b-a = 0{,}999755859375 - 0{,}99951171875 = 0{,}000244140625,
a meia-largura é \dfrac{b-a}{2}=0{,}0001220703125, ainda maior que 10^{-6}, então continuamos.

Passo 7

Prosseguindo refinamento até a meia-largura ficar abaixo de 10^{-6}:
  • Iteração 13: m_{13}=0{,}9996337890625,\qquad f(m_{13})\approx 0{,}00011630249>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}9996337890625,\,0{,}999755859375].
  • Iteração 14: m_{14}=0{,}99969482421875,\qquad f(m_{14})\approx 0{,}00005525208>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}99969482421875,\,0{,}999755859375].
  • Iteração 15: m_{15}=0{,}999725341796875,\qquad f(m_{15})\approx 0{,}00002472687>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}999725341796875,\,0{,}999755859375].
  • Iteração 16: m_{16}=0{,}9997406005859375,\qquad f(m_{16})\approx 9{,}4642639\times10^{-6}>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}9997406005859375,\,0{,}999755859375].
  • Iteração 17: m_{17}=0{,}99974822998046875,\qquad f(m_{17})\approx 1{,}8329620\times10^{-6}>0 \quad\Rightarrow\quad [a,b]=[0{,}99974822998046875,\,0{,}999755859375].
  • Iteração 18: m_{18}=0{,}999752044677734375,\qquad f(m_{18})\approx -1{,}9824389\times10^{-6}<0,então agora [a,b]=[0{,}99974822998046875,\,0{,}999752044677734375].
Neste ponto o comprimento do intervalo é
b-a \approx 3{,}814697265625\times10^{-6},
a meia-largura é \dfrac{b-a}{2}\approx 1{,}9073486328125\times10^{-6}, ainda ligeiramente maior que 10^{-6}. Mais uma iteração e atingimos o critério:
  • Iteração 19: m_{19}=0{,}9997501373291015625,\qquad f(m_{19})\approx -7{,}4863934\times10^{-8}<0,então novo intervalo [a,b]=[0{,}99974822998046875,\,0{,}9997501373291015625] com meia-largura \frac{b-a}{2}\approx 9{,}5367431640625\times10^{-7} < 10^{-6},que satisfaz o critério escolhido.

Passo 8

Escolha da aproximação final e verificação.
Quando a meia-largura fica menor que 10^{-6} toma-se como aproximação da raiz o ponto médio do último intervalo. O último ponto médio válido (ou a melhor aproximação) é
x_{\text{approx}} = \frac{a+b}{2} \approx 0{,}99974918365478515625.
Como a bissecção aproxima a raiz por um ponto que difere da raiz exata por no máximo a meia-largura, a raiz exata está dentro de \pm 9{,}54\times10^{-7} deste valor. Para conferir rapidamente, a solução analítica da equação linear
1 - \bigl(1+\tfrac{1}{k_2}\bigr)x=0
é
x=\frac{1}{1+\tfrac{1}{k_2}}=\frac{k_2}{k_2+1}=\frac{4000}{4001}\approx 0{,}999750062484.
A aproximação obtida por bissecção concorda com este valor (diferença menor que 10^{-6}).

Resposta

x = 0{,}99975006

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