Uma reação reversível em um reator, simplificadamente, segue a seguinte equação:
, sendo dado pela seguinte equação:
.
No equilíbrio a reação para (-ra=0). Sendo a concentração inicial de A de
, o
e
. Calcule numericamente pelo método da bissecção, a conversão de equilíbrio.
Resposta:
No equilíbrio a reação para (-ra=0). Sendo a concentração inicial de A de
Passo 1
O enunciado nos dá uma reação reversível
com a velocidade expressa por
No equilíbrio vale
. Os dados fornecidos são:
- concentração inicial de
: , - constante direta:
, - constante (informada)
.
O que a questão pede: calcular numericamente, pelo método da bissecção, a conversão de equilíbrio
tal que
. A conversão
é uma fração, portanto procura-se uma raiz
no intervalo
.
Passo 2
Escrever a equação do equilíbrio e a função cuja raiz queremos encontrar.
A condição de equilíbrio
implica
Como
e
são não nulos, isso é equivalente a
Definimos a função
Queremos encontrar
tal que
.
Observações rápidas (úteis para o método da bissecção):
logo há pelo menos uma raiz em
por continuidade. Temos um bom intervalo inicial
.
Passo 3
Breve aula prática: o método da bissecção (resumo e critério de paragem).
- Ideia: dado um intervalo
com , a função muda de sinal e existe uma raiz. Calcula-se o ponto médio . Se acabou; senão escolhe-se o subintervalo ou onde há mudança de sinal e repete-se. - Erro estimado: após
iterações o comprimento do intervalo é . A meia largura atual é e a raiz aproximada está dentro dessa meia-largura do ponto médio. - Critério prático usado aqui: parar quando a meia-largura do intervalo for menor que
(ou seja, ), o que garante precisão suficiente para a conversão na prova. Alternativamente pode-se parar quando , mas vamos usar a meia-largura.
Passo 4
Preparar a função com os valores numéricos para facilitar os cálculos.
Calcula-se o fator
. Com
temos
Assim
Relembrando:
e
. Vamos aplicar a bissecção em
.
Passo 5
Primeiras iterações para ver o padrão (cada linha:
é o ponto médio, em seguida
e a decisão do intervalo).
-
Iteração 1:
, . Mantém-se o subintervalo onde há mudança de sinal: agora. -
Iteração 2:Nova escolha:
. -
Iteração 3:
-
Iteração 4:
-
Iteração 5:
-
Iteração 6:
Observação: os valores de
são positivos enquanto
está abaixo da raiz; o procedimento vai aproximando-se pela direita.
Passo 6
Continuando as iterações até a meia-largura do intervalo ficar menor que
. Vou listar as iterações críticas onde o sinal muda e onde a meia-largura fica abaixo do critério.
- Iteração 7:
- Iteração 8:
- Iteração 9:
- Iteração 10:
- Iteração 11:
- Iteração 12:
Aqui o sinal já mudou (positivo em , negativo em ), então o subintervalo onde a raiz está passa a ser .
Agora o comprimento do intervalo é
a meia-largura é
, ainda maior que
, então continuamos.
Passo 7
Prosseguindo refinamento até a meia-largura ficar abaixo de
:
- Iteração 13:
- Iteração 14:
- Iteração 15:
- Iteração 16:
- Iteração 17:
- Iteração 18:
então agora .
Neste ponto o comprimento do intervalo é
a meia-largura é
, ainda ligeiramente maior que
. Mais uma iteração e atingimos o critério:
- Iteração 19:
então novo intervalo com meia-largura que satisfaz o critério escolhido.
Passo 8
Escolha da aproximação final e verificação.
Quando a meia-largura fica menor que
toma-se como aproximação da raiz o ponto médio do último intervalo. O último ponto médio válido (ou a melhor aproximação) é
Como a bissecção aproxima a raiz por um ponto que difere da raiz exata por no máximo a meia-largura, a raiz exata está dentro de
deste valor. Para conferir rapidamente, a solução analítica da equação linear
é
A aproximação obtida por bissecção concorda com este valor (diferença menor que
).