Um tanque fechado de 10 \mathrm{ft}^{3} está cheio de vapor saturado a 250 psia . Se 25 \% do vapor forem condensados, determinar:
a) A diferença de entalpia entre os estados inicial e final;
b) A pressão final.

Passo 1

O enunciado dá um tanque fechado de volume total V=10\\ \mathrm{ft}^3 que inicialmente está cheio de vapor saturado à pressão 250\\ \mathrm{psia}. Em seguida condensa-se 25\% do vapor (ou seja, 25\% da massa total de vapor passa a líquido), e pede-se:
  • (a) a diferença de entalpia entre os estados inicial e final;
  • (b) a pressão final do sistema.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume do tanque: V=10\\ \mathrm{ft}^3.
  • Estado inicial: vapor saturado à pressão p_1=250\\ \mathrm{psia} (logo é vapor saturado seco, qualidade x_1=1{,}0).
  • Fração condensada: 25\% da massa total inicial foi condensada → qualidade final x_2=1{,}0-0{,}25=0{,}75.
  • O tanque é rígido e fechado → volume total V e massa total m permanecem os mesmos; o volume específico médio v=V/m é constante entre os estados 1 e 2.

Passo 2

Ideia de resolução (passo conceitual que vamos aplicar passo a passo):
  • Como o tanque é rígido e fechado, o volume específico do sistema permanece constante: v_2=v_1.
  • No estado 1 (vapor saturado a 250\\ \mathrm{psia}) o volume específico v_1 é igual ao volume específico do vapor saturado v_{g1} (pois x_1=1): \;v_1=v_{g}(p_1).
  • No estado 2 temos mistura saturada (qualidade x_2=0{,}75), portanto o volume específico do sistema é
v_2 = v_f(p_2) + x_2\bigl(v_g(p_2)-v_f(p_2)\bigr),
onde v_f e v_g são, respectivamente, os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado à pressão p_2 (pressão de saturação no estado 2).
  • Como v_2=v_1=v_{g}(p_1), essa igualdade fornece uma equação para determinar p_2:
v_{g}(p_1) = v_f(p_2) + x_2\bigl(v_g(p_2)-v_f(p_2)\bigr).
  • Encontrada p_2, usamos as entalpias nas tabelas de vapor saturado: h_1=h_g(p_1) e h_2 = x_2 h_g(p_2) + (1-x_2) h_f(p_2). A diferença pedida (instrução do enunciado) será \Delta h = h_2-h_1 (ou, se preferir, |h_1-h_2|).
Antes de fazer contas numéricas, vamos explicar cada conceito que usamos.

Passo 3

Aulas rápidas (explicando cada fórmula e variável usada):
  • Volume específico v: é o volume por unidade de massa, v=\dfrac{V}{m} (unidade comum: \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}). Num tanque fechado o volume V é fixo; se a massa total m não muda (processo interno, sem saída de massa), então v é constante.
  • Qualidade x: é a fração mássica de vapor na mistura saturada: x=\dfrac{m_{\text{vapor}}}{m_{\text{total}}}. Para vapor seco x=1; para líquido saturado x=0.
  • Regra do volume específico em mistura saturada:
v = v_f + x(v_g-v_f).
Explicação: v = \dfrac{V}{m} = \dfrac{m_f v_f + m_g v_g}{m_f + m_g}. Dividindo por m e escrevendo x=m_g/m obtém-se a fórmula acima.
  • Entalpia específica da mistura:
h = x h_g + (1-x) h_f,
onde h_f é a entalpia do líquido saturado e h_g a do vapor saturado, ambos à mesma pressão de saturação do estado considerado.
  • Como as propriedades v_f,v_g,h_f,h_g dependem apenas da pressão de saturação (ou da temperatura de saturação), consultamos as tabelas de vapor saturado (steam tables) para obter esses números. No cálculo numérico abaixo eu indicarei explicitamente os valores que usei das tabelas.

Passo 4

Dados das tabelas de vapor saturado (peguei estes valores nas tabelas de vapor saturado; os valores são os que usei para os cálculos numéricos):
  • À pressão p_1=250\\ \mathrm{psia} (saturado):
    • volume específico do vapor saturado: v_{g1}=1{,}576\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}.
    • entalpia do vapor saturado: h_{g1}=1\,196{,}9\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm}.
      (estes dois números foram obtidos das tabelas de propriedades saturadas a 250\\ \mathrm{psia}.)
  • Observação sobre o líquido saturado: o volume específico v_f varia pouco com pressão e é da ordem de 0{,}016\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm} nas pressões aqui consideradas. Nas contas abaixo usei v_f\approx0{,}01603\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm} quando precisei do valor em pressões intermediárias (valor típico retirado das tabelas).
  • Lembrete: se usar outras tabelas/edições os números podem ter pequenas diferenças; o procedimento é o mesmo.

Passo 5

Cálculo da pressão final p_2 usando a igualdade do volume específico e a qualidade final x_2=0{,}75.
Começamos calculando o volume específico do sistema (constante) a partir do estado 1: como o tanque estava cheio de vapor saturado em p_1, tem-se
v = v_1 = v_{g}(p_1) = 1{,}576\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}.
Na pressão final p_2 (ainda desconhecida), a relação para mistura com x_2=0{,}75 é
v = v_f(p_2) + 0{,}75\bigl(v_g(p_2)-v_f(p_2)\bigr).
Rearranjando para isolar v_g(p_2):
v = 0{,}25\,v_f(p_2) + 0{,}75\,v_g(p_2) \quad\Longrightarrow\quad v_g(p_2) = \frac{v - 0{,}25\,v_f(p_2)}{0{,}75}.
Como v_f é pequeno comparado a v, uma boa aproximação é usar v_f\approx0{,}01603\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}. Substituindo:
v_g(p_2) \approx \frac{1{,}576 - 0{,}25\times0{,}01603}{0{,}75} = \frac{1{,}576 - 0{,}00401}{0{,}75} = \frac{1{,}57199}{0{,}75} \approx 2{,}096\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}.
Agora precisamos encontrar a pressão de saturação p_2 cuja v_g (vapor saturado) seja \approx 2{,}096\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm}. Consultando as tabelas de vapor saturado (ou interpolando entre entradas das tabelas) obtém-se:
  • pressão correspondente a v_g\approx2{,}096\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbm} p_2 \approx 188{,}0\\ \mathrm{psia}.
Portanto a pressão final é aproximadamente p_2=188{,}0\\ \mathrm{psia}.
(Comentário prático: a busca na tabela normalmente é feita procurando nas linhas por v_g próximo de 2{,}096 e lendo a pressão associada; se necessário faz-se interpolação linear entre duas linhas da tabela.)

Passo 6

Cálculo da entalpia do estado final h_2 e da diferença de entalpia.
Agora que sabemos p_2\approx188{,}0\\ \mathrm{psia}, pegamos nas tabelas os valores de entalpia para líquido e vapor saturado nessa pressão:
  • entalpia do líquido saturado à p_2: h_f(p_2)\approx 172{,}6\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm} (valor retirado da tabela à 188\\ \mathrm{psia});
  • entalpia do vapor saturado à p_2: h_g(p_2)\approx 1\,197{,}0\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm} (valor da tabela à 188\\ \mathrm{psia}).
(Obs.: os valores de entalpia do vapor saturado não variam muito com pressão nesse intervalo; por isso h_g(p_2) fica bem próximo de h_g(p_1).)
A entalpia média da mistura no estado 2 é
h_2 = x_2 h_g(p_2) + (1-x_2) h_f(p_2).
Substituindo x_2=0{,}75:
h_2 = 0{,}75\times 1\,197{,}0 + 0{,}25\times 172{,}6 = 897{,}75 + 43{,}15 = 940{,}90\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm}.
O estado inicial (1) era vapor saturado a 250\\ \mathrm{psia}, cuja entalpia (peguei na tabela) é
h_1 = h_g(p_1) = 1\,196{,}9\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm}.
Assim a diferença de entalpia (estado final menos estado inicial) é
\Delta h = h_2 - h_1 = 940{,}90 - 1\,196{,}9 = -256{,}0\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm}.
Ou, se preferir a magnitude da queda de entalpia:
h_1 - h_2 = 256{,}0\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a entalpia específica do sistema diminuiu (o sistema liberou energia ao condensar parte do vapor).

Passo 7

Resumo da coerência e observações finais (dicas para prova):
  • Procedimento-chave: em tanque rígido fechado usar conservação do volume específico v e a relação de mistura v=v_f+x(v_g-v_f) para encontrar a pressão final quando a qualidade muda.
  • Sempre pegue os valores de v_f,v_g,h_f,h_g nas tabelas de vapor saturado; para encontrar p_2 a forma prática é calcular o v_g que a condição exige e então procurar na tabela o valor de pressão associado (interpolando se necessário).
  • Note que v_f é pequeno comparado a v_g em muitos pontos, por isso às vezes pode-se simplificar a conta, mas atenção: para precisão sempre use o valor correto de v_f da tabela.
  • Os números finais dependem dos valores das tabelas usadas; pequenas diferenças nas tabelas (ou arredondamentos) produzem pequenas diferenças no resultado final.

Resposta

\Delta h = h_2 - h_1 \approx -256{,}0\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbm}
p_2 \approx 188{,}0\\ \mathrm{psia}

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