Um tanque com um volume de 2 \mathrm{ft}^{3} contém vapor saturado a 20 psia. Energia é retirada do fluido a volume constante até que a temperatura seja de 80^{\circ} \mathrm{F}. Determinar:
a) A temperatura inicial e a pressão final;
b) A massa total de material no tanque;
c) O volume e a massa da água líquida no tanque nas condições finais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do tanque: V=2\\ \mathrm{ft}^3.
    • Estado inicial: vapor saturado à pressão p_i=20\\ \mathrm{psia}.
    • Processo: resfriamento a volume constante até a temperatura final T_f=80^\circ\mathrm{F}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) a temperatura inicial e a pressão final;
    • (b) a massa total de material no tanque;
    • (c) o volume e a massa da água líquida no tanque nas condições finais.
Observações úteis (estas são as informações que vou usar nos passos seguintes):
  • Estado saturado: para vapor saturado a uma dada pressão p a temperatura do fluido é a temperatura de saturação T_\mathrm{sat}(p). Analogamente, para uma dada temperatura T a pressão de equilíbrio é a pressão de saturação p_\mathrm{sat}(T).
  • Em um processo a volume constante, a massa total m dentro do tanque não muda.
  • Se no estado final houver mistura líquido–vapor saturado, vale a relação do volume específico médio: v = (1-x)\,v_f + x\,v_g,onde v=V/m é o volume específico do sistema, v_f é o volume específico do líquido saturado, v_g é o volume específico do vapor saturado (em \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}) e x é a qualidade (fração mássica de vapor).

Passo 2

Determinar a temperatura inicial (parte (a)).
Como o vapor inicial é saturado à pressão p_i=20\\ \mathrm{psia}, a temperatura inicial é a temperatura de saturação correspondente a 20\\ \mathrm{psia}: T_i=T_\mathrm{sat}(20\\ \mathrm{psia}).
Para obter T_\mathrm{sat} uso a equação de Antoine (forma prática para obter pressão de vapor/temperatura em mmHg; uso-a aqui para calcular numericamente). Procedimento:
  1. Converter p_i para mmHg: p_{i,\mathrm{mmHg}}=\frac{p_i}{14{,}696}\times 760.Substituindo p_i=20\\ \mathrm{psia}: p_{i,\mathrm{mmHg}}=\frac{20}{14{,}696}\times 760 \approx 1034{,}0\\ \mathrm{mmHg}.
  2. Usando os coeficientes de Antoine para água na faixa conveniente: \log_{10}(p_{\mathrm{mmHg}})=A-\frac{B}{C+T_C},com A=8{,}07131, B=1730{,}63, C=233{,}426 e T_C em graus Celsius. Invertendo para T_C: T_C=\frac{B}{A-\log_{10}(p_{\mathrm{mmHg}})}-C.Para p_{i,\mathrm{mmHg}}\approx 1034{,}0: \log_{10}(1034{,}0)\approx 3{,}0148,então T_C=\frac{1730{,}63}{8{,}07131-3{,}0148}-233{,}426\approx 108{,}78\\ ^\circ\mathrm{C}.
  3. Converter para Fahrenheit: T_F = T_C\cdot\frac{9}{5}+32 \approx 108{,}78\cdot\frac{9}{5}+32 \approx 227{,}8^\circ\mathrm{F}.
Portanto a temperatura inicial é aproximadamente \,T_i\approx 227{,}8^\circ\mathrm{F}.

Passo 3

Determinar a pressão final (parte (a)).
No estado final a temperatura foi fixada em T_f=80^\circ\mathrm{F}. Se houver vapor e líquido em equilíbrio, a pressão final é a pressão de saturação àquela temperatura:
p_f = p_\mathrm{sat}(T_f).
Vou calcular p_\mathrm{sat}(80^\circ\mathrm{F}) novamente com a equação de Antoine (passos similares ao Passo 2, agora invertendo para pressão):
  1. Converter T_f para Celsius: T_C = (80-32)\cdot\frac{5}{9}=26{,}6667^\circ\mathrm{C}.
  2. Calcular \log_{10}(p_{\mathrm{mmHg}}): \log_{10}(p_{\mathrm{mmHg}})=A-\frac{B}{C+T_C} =8{,}07131-\frac{1730{,}63}{233{,}426+26{,}6667}\approx 1{,}4203.Assim p_{\mathrm{mmHg}}\approx 10^{1{,}4203}\approx 26{,}3\\ \mathrm{mmHg}.
  3. Converter para psia: p_f = \frac{26{,}3}{760}\times 14{,}696 \approx 0{,}509\\ \mathrm{psia}.
Portanto a pressão final é aproximadamente \,p_f\approx 0{,}509\\ \mathrm{psia}.

Passo 4

Determinar a massa total m no tanque (parte (b)).
A massa total é obtida a partir do volume total e do volume específico do vapor saturado no estado inicial. Como o estado inicial é vapor saturado a p_i=20\\ \mathrm{psia} (já calculamos T_i), precisamos do volume específico do vapor saturado v_{g,i} em \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
Para obter v_{g,i} farei uma aproximação pelo gás ideal (válida aqui para uma estimativa coerente), usando a forma:
v = \frac{R\,T}{p},
onde:
  • R é a constante específica do vapor d’água em unidades inglesas. Uso R\approx 1545\\ /\\\ 18{,}0153 \approx 85{,}78\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lbm\cdot ^\circ R)} ( 1545 é a constante universal em \mathrm{ft\cdot lbf/(lbmol\cdot ^\circ R)} e 18{,}0153 é a massa molar da água em \mathrm{lbm/lbmol} ).
  • T deve estar em graus Rankine: T_R=T_F+459{,}67.
  • p em \mathrm{lbf/ft}^2 (psf): 1\\ \mathrm{psi}=144\\ \mathrm{psf}.
Cálculo:
  1. Converter p_i para psf: p_i=20\\ \mathrm{psia}=20\times 144=2880\\ \mathrm{psf}.
  2. Converter T_i para Rankine: T_{i,R}=227{,}8+459{,}67=687{,}47\\ ^\circ\mathrm{R}.
  3. Calcular v_{g,i}: v_{g,i}=\frac{R\,T_{i,R}}{p_i} =\frac{85{,}78\cdot 687{,}47}{2880}\approx 20{,}48\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
Agora a massa total m é
m=\frac{V}{v_{g,i}}=\frac{2\\ \mathrm{ft}^3}{20{,}48\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}}\approx 0{,}0977\\ \mathrm{lbm}.
Explanação rápida: como inicialmente todo o conteúdo é vapor saturado, o volume total dividido pelo volume específico do vapor dá a massa total.

Passo 5

Determinar a quantidade de líquido e vapor no estado final (parte (c)).
No estado final temos T_f=80^\circ\mathrm{F} e p_f\approx 0{,}509\\ \mathrm{psia}. Vou assumir que há equilíbrio líquido–vapor saturado (o que é consistente: resfriando vapor saturado a volume fixo, a pressão cai e parte condensa até alcançar a temperatura de 80^\circ\mathrm{F} com p=p_\mathrm{sat}(80^\circ\mathrm{F})).
Usarei a relação do volume específico médio:
v=\frac{V}{m}=(1-x)\,v_f + x\,v_g,
onde agora v_f e v_g são os volumes específicos de líquido e vapor saturados à 80^\circ\mathrm{F}.
Obter v_f e v_g (aproximações práticas):
  • O volume específico do líquido saturado v_f é praticamente o inverso da densidade da água líquida a 80^\circ\mathrm{F}. Valor característico: v_f\approx 0{,}01602\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb} (valor típico de tabela para líquidos saturados próximos a essa temperatura).
  • O volume específico do vapor saturado v_g a 80^\circ\mathrm{F} pode ser estimado pelo gás ideal com os dados do Passo 3:
    1. Converter p_f para psf: p_f=0{,}509\\ \mathrm{psia}=0{,}509\times 144\approx 73{,}22\\ \mathrm{psf}.
    2. Converter T_f para Rankine: T_{f,R}=80+459{,}67=539{,}67\\ ^\circ\mathrm{R}.
    3. Calcular v_{g,f}=\frac{R\,T_{f,R}}{p_f}=\frac{85{,}78\cdot 539{,}67}{73{,}22}\approx 632{,}3\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
Calcular o volume específico médio v:
v=\frac{V}{m}=\frac{2}{0{,}0977}\approx 20{,}48\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lb}.
Agora a qualidade x:
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f} =\frac{20{,}48-0{,}01602}{632{,}3-0{,}01602} \approx \frac{20{,}46398}{632{,}28398}\approx 0{,}03235.
Portanto a massa de vapor final m_v e a massa de líquido final m_\ell são:
m_v = x\,m \approx 0{,}03235\times 0{,}0977 \approx 0{,}00316\\ \mathrm{lbm},
m_\ell = m - m_v \approx 0{,}0977-0{,}00316 \approx 0{,}0945\\ \mathrm{lbm}.
O volume ocupado pelo líquido final V_\ell é
V_\ell = m_\ell\,v_f \approx 0{,}0945\times 0{,}01602 \approx 0{,}001515\\ \mathrm{ft}^3.
(O volume do vapor final será V_v=V-V_\ell\approx 1{,}9985\\ \mathrm{ft}^3, compatível com m_v \approx V_v/v_{g,f}.)

Passo 6

Resumo dos resultados numéricos (arredondamentos e unidades):
  • Temperatura inicial: T_i\approx 227{,}8^\circ\mathrm{F}.
  • Pressão final: p_f\approx 0{,}509\\ \mathrm{psia}.
  • Massa total: m\approx 0{,}0977\\ \mathrm{lbm}.
  • Volume da água líquida no final: V_\ell\approx 0{,}001515\\ \mathrm{ft}^3.
  • Massa da água líquida no final: m_\ell\approx 0{,}0945\\ \mathrm{lbm}.

Resposta

(a) T_i \approx 227{,}8^\circ\mathrm{F},\\ p_f \approx 0{,}509\\ \mathrm{psia}.
(b) m \approx 0{,}0977\\ \mathrm{lbm}.
(c) V_\ell \approx 0{,}001515\\ \mathrm{ft}^3,\\ m_\ell \approx 0{,}0945\\ \mathrm{lbm}.

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