Um tanque no formato de um cilindro circular reto cujo raio de base mede de 2 m tem o nível da água aumentando em 25 cm. Após uma forte chuva, essa quantidade de água corresponde a 5% do volume total de água que cabe no tanque.
Assinale a alternativa em que é melhor a pressão e volume total de ar que cabe no tanque em metros cúbicos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício envolvendo um tanque que é um cilindro direito com raio de 2 metros. Depois de uma chuva forte, o nível da água subiu 25 cm, e essa quantidade de água representa 5% do volume total que o tanque pode armazenar. A gente precisa descobrir a pressão exercida e o volume total de ar que cabe no tanque, tudo isso em metros cúbicos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria dos cilindros e física básica sobre pressão de fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a quantidade de água que subiu 25 cm representa 5% do volume total do tanque. Isso nos dá uma relação para encontrarmos o volume total do tanque.
Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
V = pi r^2 h
onde:
  • $ V $ é o volume,
  • $ r $ é o raio da base,
  • $ h $ é a altura.
Aqui, o volume correspondente aos 25 cm de água é 5% do volume total. Vamos converter 25 cm para metros: 25 cm = 0,25 m.
Então:
V

Passo 3

Agora, vamos substituir o raio $ r = 2 $ m na equação:
r = 2
Calculando $ (2)^2 = 4 $:
0,25 cdot pi (2)^2 = 0,05 cdot Vtotal
Multiplicando os números:
(2)^2 = 4

Passo 4

Para encontrar $ V_{total} $, vamos isolar essa variável:
Vtotal
Vtotal = 1 cdot pi0,05
Então, o volume total do tanque é $ 20\pi $ metros cúbicos.

Passo 5

Agora, vamos calcular a altura total do tanque. Sabemos que o volume total é $ V_{total} = \pi r^2 h_{total} $.
Substituindo $ V_{total} = 20\pi $ e $ r = 2 $ m:
Vtotal = pi r^2 htotal
Vtotal = 20pi
Dividindo ambos os lados por $ 4\pi $:
r = 2
A altura total do tanque é de 5 metros.

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume de ar que cabe no tanque. Como apenas 5% está cheio de água, o restante, que é 95%, está cheio de ar.
Var = 0,95 cdot Vtotal = 0,95 cdot 20pi = 19pi metros cúbicos ú
Então, o volume de ar no tanque é $ 19\pi $ metros cúbicos.

Passo 7

Por fim, vamos calcular a pressão exercida pela água. A pressão na base do tanque devido à coluna de água é dada por:
P = rho g h
onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água ($ 1000 , kg/m^3 $),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura da coluna de água (0,25 m).
Substituindo os valores:
rho
Então, a pressão exercida pela água na base do tanque é de 2450 Pascal.

Resposta

A pressão exercida pela água é de 2450 Pascal e o volume total de ar que cabe no tanque é de 19pi metros cúbicos.

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