Um tanque grande de 500l contém, inicialmente, 300l de água pura. Uma mistura contendo uma concentração de 10 g / l de sal entra no tanque a uma vazão de 2 l / min, outra mistura contendo uma concentração de 1 /(t+100) g / l de sal entra no tanque a uma vazão de 1 l / min. Essa mistura, bem mexida, sai do tanque com uma vasão de 2 l / min.
O volume de água no tanque é constante ou variável? Se variável, o taque seca ou transborda em que instante de tempo? Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de capacidade 500 L, inicialmente com 300 L de água pura, recebendo duas entradas de fluido (2 L/min e 1 L/min) e com saída de 2 L/min. O conteúdo da matéria é balanço de volume em tanques e vamos precisar usar a equação de balanço de volume (dV/dt = vazão entrada – vazão saída).

Passo 2

Calculamos a vazão total de entrada somando as duas entradas: 2 L/min + 1 L/min = 3 L/min. A vazão de saída é 2 L/min.

Passo 3

Aplicamos o balanço de volume:
[\frac{dV}{dt} = vazão entrada - vazão saída = 3 - 2 = 1\ \mathrm{L/min}],
ou seja, o volume cresce a uma taxa constante de 1 L/min.

Passo 4

Integramos para obter V(t), sabendo que V(0) = 300 L:
[V(t) = 300 + 1\cdot t = 300 + t\quad(\mathrm{L})].

Passo 5

Verificamos quando o volume atinge a capacidade máxima de 500 L, resolvendo
[300 + t = 500]
que dá
[t = 200\ \mathrm{min}].
Logo, até t=200 min o volume aumenta linearmente; a partir daí o tanque transborda e não comporta mais o acréscimo de volume.

Resposta

O volume é variável, cresce a 1 L/min e o tanque transborda quando t=200 min.

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