Um terreno está submetido à ação de três cargas espaçadas de 2 m uma da outra. As cargas têm intensidade de 640 \mathrm{kN}, 160 \mathrm{kN} e 200 kN respectivamente. Calcule as tensões resultantes na profundidade de um metro nos seguintes pontos:
No ponto A, abaixo da carga de 640 kN ;

Passo 1

O enunciado diz que temos três cargas pontuais Q_1=640,kN, Q_2=160,kN e Q_3=200,kN aplicadas na superfície de um terreno, espaçadas 2 m entre si. Queremos a tensão vertical resultante a z=1,m de profundidade no ponto A, que está exatamente abaixo da carga Q_1. Para resolver, vamos usar a fórmula de Boussinesq para carga pontual, que fornece o incremento de tensão vertical em função da carga, da profundidade z e da distância horizontal r entre a carga e o ponto.

Passo 2

A tensão vertical incremental \Delta\sigma_z devida a uma carga pontual Q na superfície é dada por
\Delta\sigma_z \;=\; \frac{3\,Q}{2\pi\,z^2}\;\frac{1}{\bigl(1+(r/z)^2\bigr)^{5/2}}
Aqui z=1,m, e as distâncias horizontais do ponto A às cargas são
\,r_1=0,m, \,r_2=2,m, \,r_3=4,m.

Passo 3

Contribuição da carga Q_1=640,kN (diretamente acima, r_1=0):
\bigl(1+(r_1/z)^2\bigr)^{5/2} = (1+0)^{5/2} =1 \quad\Longrightarrow\quad \Delta\sigma_{z,1} = \frac{3\cdot 640}{2\pi\cdot1^2}\cdot1 = \frac{1920}{2\pi} \approx 305{,}6\text{ kPa}

Passo 4

Contribuição da carga Q_2=160,kN ( r_2=2,m):
(1+(2/1)^2)^{5/2} = 5^{5/2} = 25\sqrt{5}\approx 55{,}90 \;\Longrightarrow\; \Delta\sigma_{z,2} = \frac{3\cdot160}{2\pi\cdot1^2}\;\frac{1}{55{,}90} \approx 1{,}37\text{ kPa}
Contribuição da carga Q_3=200,kN ( r_3=4,m):
(1+(4/1)^2)^{5/2} = 17^{5/2} = 289\sqrt{17}\approx 1191 \;\Longrightarrow\; \Delta\sigma_{z,3} = \frac{3\cdot200}{2\pi\cdot1^2}\;\frac{1}{1191} \approx 0{,}08\text{ kPa}

Passo 5

Somamos as três contribuições para obter a tensão vertical total no ponto A:
\Delta\sigma_{z,\text{total}} =305{,}6 + 1{,}37 + 0{,}08 \approx 307{,}1\text{ kPa}

Resposta

A tensão vertical resultante a 1 m de profundidade no ponto A é, aproximadamente, 307,kPa.

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