[Tarefa Computacional] Admitindo condição de projeto, V1, t=0, encontre uma expressão que relacione a altura de carga teórica H com o ângulo da pá beta2 na saída do impelidor
H=1g(omega^2 r2^2-omega Q2 pi b2 tan beta2)
Plote: i) a curva de desempenho teórica ( Q vs. H ) e ii) a potência teórica ( Q vs. P ) para uma bomba na qual r2=60 mm, b2=10 mm e omega=1710 rpm.
Uma bomba centrífuga está sendo projetada para bombear água à temperatura ambiente e pressão atmosférica. Os raios de entrada e saída do rotor são r1=120 e r2=200 mm. As larguras de entrada e saída do rotor são b1=50 mm e b2=30 mm. A bomba deve fornecer Q projeto =200 m^3 / h a uma carga líquida de H projeto =20 m quando o motor gira a omega projeto =2400 rpm.
Implemente uma rotina computacional no qual as entrada do problema são: r1, r2, b1, b2, Q projeto , H projeto e omega projeto . O programa deve retornar o ângulo das pás beta1 e beta2 e a potência necessária para a bomba bhp. Nas condições de projeto, calcule:
(a) Os ângulos beta1 e beta2
(b) A potência necessária para a bomba

Passo 1

O enunciado trata do desempenho teórico de uma bomba centrífuga usando a equação de Euler para turbomáquinas e os triângulos de velocidade na entrada e na saída do rotor. A partir da condição V1,t=0 e da fórmula
H=1gl(omega^2r2^2-omega,Q2pi,b2,tanbeta2r)
devemos: (i) derivar uma expressão fechada entre H e beta2; (ii) mostrar como plotar Q versus H e Q versus potência; (iii) para as condições de projeto ( r1,r2,b1,b2,Qrm proj,Hrm proj,omegarm proj) calcular beta1, beta2 e a potência requerida.

Passo 2

Isolamos tanbeta2 na equação de H. Primeiro multiplicamos por g:
g,H=omega^2r2^2-omega,Q2pi,b2,tanbeta2
Passando o segundo termo para o lado esquerdo e invertendo,
omega,Q2pi,b2,tanbeta2 =omega^2r2^2-g,H Longrightarrow tanbeta2 =omega,Q2pi,b2,l(omega^2r2^2-g,Hr)

Passo 3

Para traçar as curvas teóricas Qtimes H e Qtimes P fixa-se um valor de beta2 e varre-se Q de zero até o ponto em que omega^2r2^2-omega Q/(2pi b2tanbeta2)=0. Em cada Q calcula-se
H(Q) =1gl(omega^2r2^2-omega,Q2pi,b2,tanbeta2r),
e a potência hidráulica
P(Q)=rho,g,Q,H(Q)

Passo 4

Implementa-se uma rotina que recebe r1,r2,b1,b2,Qrm proj,Hrm proj,omegarm proj em unidades SI (metros, rm m^3/s, rad/s) e:
  1. calcula tanbeta2 por
    tanbeta2=omegarm proj,Qrm proj2pi,b2,[omegarm proj^2r2^2-g,Hrm proj];
  2. obtém beta2=arctan(tanbeta2);
  3. usa a equação de Euler gHrm proj=U2V2,t-U1V1,t com V1,t=0 e o triângulo de velocidades na saída para achar beta1;
  4. calcula a potência hidráulica P=rho g Qrm projHrm proj e converte para bhp.

Passo 5

Para as condições de projeto convertemos:
Qrm proj=200rm,m^3/h=0,05556rm,m^3/s,
omegarm proj=2400rm,rpm=80pirm,rad/s,
r1=0,12rm,m,;r2=0,20rm,m,;b1=0,05rm,m,;b2=0,03rm,m,;Hrm proj=20rm,m
Então
tanbeta2 =(80pi),0,055562picdot0,03l((80pi)^2,0,20^2-9,81cdot20r) approx0,03182 Longrightarrow beta2approx1,82^circ

Passo 6

No ponto de saída do rotor U2=omegarm projr2approx50,27rm,m/s. A velocidade meridional de saída é
Vm2=Qrm proj2pi r2b2approx1,474rm,m/s
Do triângulo V2,t=U2-Vm2cotbeta2approx3,94rm,m/s. Como V1,t=0, usa-se
gHrm proj=U2V2,t e U1=omegarm projr1approx30,16rm,m/s
para achar V1,t (que é pequeno) e o ângulo beta1 pelo triângulo de entrada
tanbeta1=Vm1U1-V1,tapprox0,0490
Longrightarrowbeta1approx2,81^circ

Passo 7

A potência hidráulica ideal é
P=rho,g,Qrm proj,Hrm proj =1000cdot9,81cdot0,05556cdot20approx10,896rm,Wapprox10,9rm,kW,
ou em cavalos-vapor
Prm bhp=10,8960,7457approx14,6rm,bhp

Resposta

beta1approx2,81^circ,beta2approx1,82^circ, Papprox10,9rm,kW;(14,6rm,bhp).

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