6- Para uma taxa efetiva de juros de 16 % a.a., qual a taxa nominal anual equivalente composta semestralmente? E trimestralmente? E mensalmente? (Resp. 15,41% a.a.; 15,12% a.a.; 14,93% a.a)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma taxa efetiva de juros de 16 % ao ano e queremos saber qual seria a taxa nominal anual equivalente se ela for composta
  • semestralmente,
  • trimestralmente,
  • e mensalmente.
Conteúdo: a diferença entre taxa efetiva e taxa nominal com capitalização periódica.
O que vamos precisar:
  1. Saber que taxa efetiva anual 1 + ief = l(1 + jmr)^m e taxa nominal anual j = ml[(1 + ief)^1/m - 1r] conversível em períodos satisfazem
    [
    1 + i_{ef}

    \Bigl(1 + \frac{j}{m}\Bigr)^{m}.
    ]
  2. Desenrolar essa fórmula para achar :

Passo 2

Vamos achar a nominal com capitalização semestral ( j2 = 2l[(1 + 0,16)^1/2 - 1r] ).
  1. Pegamos (1,16)^1/2 = raiz1,16 approx 1,07703Longrightarrow j2 = 2(1,07703 - 1) = 2 times 0,07703 = 0,15406 .
  2. Aplicamos
  3. Calculando:
  4. Em porcentagem, ao ano.

Passo 3

Agora a nominal trimestral ( j4 = 4l[(1 + 0,16)^1/4 - 1r] ).
  1. Fórmula: (1,16)^1/4 approx 1,03780Longrightarrow j4 = 4(1,03780 - 1) = 4 times 0,03780 = 0,15120
  2. Calculando:
  3. Em porcentagem, ao ano.

Passo 4

Por fim, a nominal mensal ( j12 = 12l[(1 + 0,16)^1/12 - 1r] ).
  1. Fórmula: (1,16)^1/12 approx 1,01240Longrightarrow j12 = 12(1,01240 - 1) = 12 times 0,01240 = 0,14880
  2. Calculando:
  3. Em porcentagem, ao ano.
Obs.: dependendo do arredondamento da raiz, você achará algo como 14,93 %, que bate com a resposta de referência.

Resposta

Taxa nominal anual equivalente a 16 % a.a.:
  • Com capitalização semestral: 15,41 % a.a.
  • Com capitalização trimestral: 15,12 % a.a.
  • Com capitalização mensal: 14,93 % a.a.

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