A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante. O caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital
por trabalho
, denotada por
, que indica a quantidade de capital que se pode reduzir/aumentar quando se usa uma unidade a mais/menos de trabalho de modo que a produção permaneça constante. Sendo
a função produção, mostra-se que
. Para a função produção
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a taxa marginal de substituição técnica de trabalho por capital, definida como
, sendo
. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Definimos
, de modo que
. Isso facilita o uso da regra da cadeia, pois
com
.
Passo 3
Calculamos a derivada em relação a
. Pela regra da cadeia:
Passo 4
De modo análogo, em relação a
temos:
Passo 5
Agora formamos o quociente
e simplificamos: