A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante. O caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital (K) por trabalho (L), denotada por TMST(L, K), que indica a quantidade de capital que se pode reduzir/aumentar quando se usa uma unidade a mais/menos de trabalho de modo que a produção permaneça constante. Sendo P(K, L) a função produção, mostra-se que TMST(L, K)= PL / PK. Para a função produção
P=f(l, k)=(alpha k^-theta+(1-alpha) l^-theta)^-1theta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a taxa marginal de substituição técnica de trabalho por capital, definida como TMST(L,K)=PL/PK, sendo P(L,K)=l(alpha k^-theta+(1-alpha)l^-thetar)^-1/theta. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos S=alpha k^-theta+(1-alpha)l^-theta, de modo que P=S^-1/theta. Isso facilita o uso da regra da cadeia, pois P=l(Sr)^gamma com gamma=-1/theta.

Passo 3

Calculamos a derivada em relação a l. Pela regra da cadeia:
PL=gamma S^gamma-1cdotdSdl=l(-tfrac1thetar)S^-1/theta-1cdot(1-alpha)(-theta)l^-theta-1= (1-alpha),S^-1/theta-1,l^-theta-1

Passo 4

De modo análogo, em relação a k temos:
PK=gamma S^gamma-1cdotdSdk=l(-tfrac1thetar)S^-1/theta-1cdotalpha(-theta)k^-theta-1=alpha,S^-1/theta-1,k^-theta-1

Passo 5

Agora formamos o quociente PL/PK e simplificamos:
TMST(L,K)=PLPK=(1-alpha),S^-1/theta-1,l^-theta-1alpha,S^-1/theta-1,k^-theta-1=1-alphaalpha,k^theta+1l^theta+1

Resposta

TMST(L,K)=1-alphaalphagl(klgr)^theta+1

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