A taxa de variação do número de assinantes de uma revista recém-lançada é dada por dAdt=1000 cdot t^2 cdot e^-t, com 0 <= t <= 6, onde t é o tempo em anos. Determine o aumento do número de assinantes durante os primeiros 6 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que mostra como o número de assinantes de uma revista muda com o tempo. A taxa de variação é dada por dAdt = 1000 cdot t^2 cdot e^-t, onde t é o tempo em anos. Nosso objetivo é descobrir quanto esse número de assinantes aumentou nos primeiros 6 anos. Para fazer isso, a gente vai usar cálculo, especificamente integrais, que ajudam a somar todas essas variações ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, para achar o aumento total no número de assinantes entre t = 0 e t = 6, precisamos integrar a taxa de variação dAdt de 0 a 6. Isso significa calcular:
A(6) - A(0) = integral0^6 1000 cdot t^2 cdot e^-t , dt

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de t^2 e^-t pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher u = t^2 e dv = e^-t dt.

Passo 4

Calculando du e v:
du = 2t , dt
v = -e^-t
Aplicando a integração por partes:
integral t^2 e^-t dt = -t^2 e^-t + integral 2t e^-t dt
Agora, precisamos integrar integral 2t e^-t dt usando integração por partes novamente.
Escolha u = 2t e dv = e^-t dt.

Passo 5

Calculando du e v para a segunda integração por partes:
du = 2 , dt
v = -e^-t
Aplicando novamente:
integral 2t e^-t dt = -2t e^-t + integral 2 e^-t dt = -2t e^-t - 2 e^-t
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral t^2 e^-t dt = -t^2 e^-t + (-2t e^-t - 2 e^-t) = -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2 e^-t

Passo 6

Agora, multiplicamos todo o resultado por 1000 e avaliamos de t = 0 a t = 6:
A(6) - A(0) = 1000 cdot [ -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2 e^-t ]0^6
Calculando em t = 6:
-6^2 e^-6 - 2 cdot 6 e^-6 - 2 e^-6 = -36 e^-6 - 12 e^-6 - 2 e^-6 = -50 e^-6
Calculando em t = 0:
-0 - 0 - 2 e^0 = -2
Então:
A(6) - A(0) = 1000 cdot [ -50 e^-6 - (-2) ] = 1000 cdot (2 - 50 e^-6)

Resposta

O aumento do número de assinantes durante os primeiros 6 anos é aproximadamente 2000 - 50000 cdot e^-6 approx 2000 - 50000 cdot 0,00247875 approx 2000 - 123,94 approx 1876 assinantes.

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