A taxa de variação do número de assinantes de uma revista recém-lançada é dada por
, onde t é o tempo em anos. Determine o aumento do número de assinantes durante os primeiros 6 anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que mostra como o número de assinantes de uma revista muda com o tempo. A taxa de variação é dada por
, onde
é o tempo em anos. Nosso objetivo é descobrir quanto esse número de assinantes aumentou nos primeiros 6 anos. Para fazer isso, a gente vai usar cálculo, especificamente integrais, que ajudam a somar todas essas variações ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, para achar o aumento total no número de assinantes entre
e
, precisamos integrar a taxa de variação
de 0 a 6. Isso significa calcular:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de
pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
Vamos escolher
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Aplicando a integração por partes:
Agora, precisamos integrar
usando integração por partes novamente.
Escolha
e
.
Passo 5
Calculando
e
para a segunda integração por partes:
Aplicando novamente:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Agora, multiplicamos todo o resultado por 1000 e avaliamos de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então:
Resposta
O aumento do número de assinantes durante os primeiros 6 anos é aproximadamente
assinantes.