A taxa de variação do preço p (em reais) de um produto é dada por
d pd x=-135 xraiz9+x^2
em que x é a demanda do produto (número de unidades vendidas) em centenas de unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x=4) para um preço de R 30,00$.
Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda é zero?

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de variação do preço p em função da demanda x (em centenas de unidades):
dpdx = -135,xraiz9 + x^2
Precisamos encontrar a função p(x) integrando essa expressão e usar a condição p(4)=30. Com isso, queremos depois calcular p(3) (demanda de 300 unidades) e p(0) (demanda zero).

Passo 2

Para obter p(x) fazemos
p(x) = integral dpdx,dx = integral -135,xraiz9 + x^2,dx
Fazendo a substituição u = 9 + x^2, temos du = 2x,dx, logo
integral xraiz9 + x^2,dx = 12 integral u^-tfrac12,du = raizu = raiz9 + x^2
Portanto
p(x) = -135,raiz9 + x^2 + C

Passo 3

Usamos a condição p(4)=30. Como raiz9 + 4^2 = raiz25=5, obtemos
30 = p(4) = -135cdot5 + C = -675 + C Longrightarrow C = 705
Assim
p(x) = 705 ;-; 135,raiz9 + x^2

Passo 4

Para demanda de 300 unidades temos x=3. Então
p(3) = 705 - 135,raiz9 + 3^2 = 705 - 135,raiz18 = 705 - 135cdot3raiz2 = 705 - 405,raiz2 approx 132,3

Passo 5

Para demanda zero, x=0, resulta
p(0) = 705 - 135,raiz9 + 0^2 = 705 - 135cdot3 = 705 - 405 = 300

Resposta

Para 300 unidades:
p(3) = 705 - 405raiz2approx R$,132,3
Para demanda zero:
p(0) = R$,300,00

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