Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido delimitado pelo hiperboloide
e acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular o volume de um sólido que é definido pelo hiperboloide
e que está acima do plano
. A gente vai usar coordenadas polares (ou mais precisamente, coordenadas cilíndricas) para resolver isso. Vamos precisar entender como traduzir a equação do hiperboloide e configurar os limites de integração para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do hiperboloide na forma das coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas,
,
e
. Substituindo essas na equação:
Assim, podemos isolar
:
Como estamos considerando apenas acima do plano
,
será positiva.
Passo 3
Agora, para calcular o volume, vamos usar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A fórmula para o volume é:
Aqui,
varia de 0 a um certo limite
que precisamos determinar,
varia de 0 a
(uma volta completa) e
vai de 0 até a superfície do hiperboloide.
Passo 4
Vamos determinar o limite
. Observando a equação
, não há restrição real para
já que conforme
aumenta,
também aumenta. Porém, para calcular um volume finito, consideramos que o sólido se estende até que o hiperboloide corte o plano
, ou seja, quando
. Mas no nosso caso, o hiperboloide nunca corta o plano
(pois
sempre é maior ou igual a 1). Então, nosso limite para
é infinito, o que sugere que o volume também é infinito. Contudo, isso não faz sentido fisicamente, então percebemos que provavelmente precisamos considerar uma interseção ou restrição adicional.
Passo 5
Reavaliando, parece que o hiperboloide dado
é uma espécie de “caixa infinita” aberta para cima e para baixo. Como queremos apenas o volume acima do plano
, e sem outra restrição, realmente o volume seria infinito. Porém, se supormos que há um limite, por exemplo, até onde
atinge um certo valor, poderíamos calcular um volume finito. Sem essa restrição, o volume não é limitado.
Resposta
O volume do sólido delimitado pelo hiperboloide
e acima do plano
é infinito.