A taxa de variação da temperatura (em graus Celsius por hora) em um forno é dada por:
T^prime(t)=6 t-t^2
onde t é o tempo em horas desde o início do aquecimento. Sabendo que a temperatura inicial é de 20^circ C, determine:
A expressão para a função T(t), que representa a temperatura após t horas.

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de variação da temperatura ,T'(t)=6t - t^2 e a condição inicial ,T(0)=20^circC. O conteúdo aqui é que, para obter a função temperatura T(t), basta integrar a derivada e usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Integramos ,T'(t) em relação a t:
T(t) = integral (6t - t^2),dt = integral 6t,dt ;-;integral t^2,dt = 3t^2 ;-;t^33 + C
Aqui usamos a regra ,integral t^n,dt = tfract^n+1n+1.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial ,T(0)=20^circC. Substituindo t=0 em
T(0)=3cdot0^2 - 0^33 + C = C,
temos C=20.

Resposta

Substituindo C em T(t), a temperatura após t horas é
T(t) = 20 + 3t^2 - t^33

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