A técnica da fronteira móvel foi utilizada para determinar o número de transporte do ion \mathrm{H}^{+}numa solução 0,010 \mathrm{M} de HCl a 25^{\circ} \mathrm{C} de condutividade específica de 0,412 \Omega^{-} { }^{1} . \mathrm{m}^{-1}. Uma corrente de 3 mA foi passada através do dispositivo de área 3,25 \mathrm{~cm}^{2} por um tempo de 45 min onde foi observado que a fronteira moveu 2,13 \mathrm{~cm}. Utilizando esses dados encontre a mobilidade do íon \mathrm{H}^{+}e \mathrm{Cl}^{-}sabendo que o volume de solução movimentado nesse experimento se deve ao ion \mathrm{H}^{+}.
Dica: tendo em conta a definição de mobilidade: velocidade ionica/campo eletrico (m =\mathrm{v} / \mathrm{E} ) utilize as relações de (i) velocidade: distância / tempo, ( \mathrm{v}=\mathrm{L} / \mathrm{t} ) ; (ii) campo elétrico: potencial/distância (\mathrm{E}=\mathrm{U} / \mathrm{L}) e a 1^{\circ}(\mathrm{U}=\mathrm{R} / \mathrm{I}) e 2^{\circ} Lei de ohm \mathrm{R}=\frac{1}{k} \frac{L}{A} onde k é a condutividade para achar a expressão da mobilidade.
Resposta:
  • 1^{\circ} deduzindo expressão da mobilidade
    \mathrm{m}= velocidade / campo elétrico
    \mathrm{m}=(\mathrm{L} / \mathrm{t}) / \mathrm{U} / \mathrm{L}
    Substituindo as expressões de velocidade e campo elétrico
m=L^{2} / t . U
  • 2^{\circ} expandindo a expressão da mobilidade
Tomando a expressão de tensão e resistência
\begin{aligned} & \mathrm{U}=\mathrm{R} . \mathrm{I} \\\ & \mathrm{R}=(1 / \mathrm{k}) \cdot(\mathrm{L} / \mathrm{A}) \end{aligned}
Substituindo (3) em (4)
\mathrm{U}=\mathrm{I} . \mathrm{L} / \mathrm{k} . \mathrm{A}
Substituindo (5) em (2):
\begin{array}{cl} \mathrm{m}^{+}=\mathrm{L}^{2} /[\mathrm{t} .(\mathrm{I} . \mathrm{L}) /(\mathrm{k} . \mathrm{A})] & m^{+}=\frac{L . k . A}{t . I} \end{array}
\begin{aligned} & \text { I = a corrente aplicada } \\\ & \mathrm{m}^{+}=\frac{2,13 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \cdot 0,412 \Omega^{-1} \mathrm{~cm}^{-1} \cdot 3,25 \times 10^{-4}}{(45 \times 60 \mathrm{~s}) \cdot 3 \times 10^{-3}} \\\ & \mathrm{~m}^{+}=3,52 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~V}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned}
  • Para achar a mobilidade do Cl - tem que achar o número de transporte de \mathrm{H}+, obtida na questão 3 :
\begin{aligned} & t^{+}=\frac{Z_{+} F\left(1000 C_{+} V\right)}{I . t} \\\ & \text { onde } \\\ & \mathrm{Z}+=\text { a carga do ion hidrogênio } \\\ & \mathrm{F}=\text { constante de Faraday } \\\ & \mathrm{C}_{+}=\text {a concentração molar do ion hidrogênio } \\\ & \mathrm{V}=\text { o volume deslocado ( } \mathrm{V}=\text { Area.distância) } \\\ & \mathrm{t}=\text { o tempo utilizado } \\\ & \mathrm{I}=\text { a corrente aplicada } \\\ & t^{+}=\frac{96485 \mathrm{C} / \mathrm{mol}\left(10000,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3} \cdot 3,25 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \cdot 2,13 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)}{3 \times 10^{-3} \mathrm{~A} 45.60 \mathrm{~s}} \\\ & t^{+}=0,825 \end{aligned}êçãêâ
  • Para achar a mobilidade do outro ion (Cl-):
\begin{gathered} t^{+}=\frac{m^{+}}{m^{+}+m^{-}} \\\\ 0,85=\frac{3,52 \cdot 10^{-7}}{3,52 \cdot 10^{-7}+m^{-}} \\\ m^{-}=7,47 \times 10^{-8} m^{2} \cdot V^{-1} \cdot S^{-1} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado usa a técnica da fronteira móvel para medir a mobilidade iônica em solução de HCl 0,010 M a 25\circC. Temos: condutividade específica k=0,412\;\Omega^{-1}\!\cdot\!{\rm m}^{-1}, corrente I=3\times10^{-3}\;{\rm A}, área do aparelho A=3{,}25\;\mathrm{cm}^2, tempo de eletrólise t=45\;\mathrm{min} e deslocamento da fronteira L=2{,}13\;\mathrm{cm}. Queremos a mobilidade do cátion \mathrm{H}^+ e do ânion \mathrm{Cl}^-. Vamos usar: mobilidade m=v/E, com v=L/t, E=U/L, U=R\,I e R=\tfrac{1}{k}\tfrac{L}{A}.

Passo 2

Derivemos uma fórmula prática para a mobilidade. Começamos por
m \;=\;\frac{v}{E}
com
v=\frac{L}{t}, \quad E=\frac{U}{L}, \quad U=R\,I, \quad R=\frac{1}{k}\,\frac{L}{A}.
Substituindo v e E em m=v/E
m=\frac{L/t}{\,U/L\,} =\frac{L^2}{t\,U}.
Agora U=I\,R=I\,\bigl(\tfrac{1}{k}\tfrac{L}{A}\bigr)=\frac{I\,L}{k\,A}. Logo
m =\frac{L^2}{t}\;\frac{k\,A}{I\,L} =\frac{L\,k\,A}{t\,I}.

Passo 3

Calculemos m^+ do \mathrm{H}^+. Primeiro, convertendo unidades para o SI:
\;L=2{,}13\;\mathrm{cm}=2{,}13\times10^{-2}\;\mathrm{m},\; A=3{,}25\;\mathrm{cm}^2=3{,}25\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2,\; t=45\;\mathrm{min}=2700\;\mathrm{s}.
Aplicando
m^+ =\frac{L\,k\,A}{t\,I} =\frac{(2{,}13\times10^{-2})(0,412)(3{,}25\times10^{-4})} {(2700)(3\times10^{-3})} \approx3{,}52\times10^{-7}\;\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{V}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Agora determinamos o número de transporte t^+ do \mathrm{H}^+. Como só o cátion desloca a solução, o volume deslocado é
V=A\,L=(3{,}25\times10^{-4}\;\mathrm{m}^2)(2{,}13\times10^{-2}\;\mathrm{m}) =6{,}9225\times10^{-6}\;\mathrm{m}^3.
A concentração molar em SI é
C_+=0{,}010\;\mathrm{mol/L}=10\;\mathrm{mol/m}^3,
logo o número de mols transportados
n_+ = C_+\,V = (10)(6{,}9225\times10^{-6}) = 6{,}9225\times10^{-5}\;\mathrm{mol}.
Pela definição
t^+ = \frac{z_+\,F\,n_+}{I\,t} = \frac{(1)(96485)\,(6{,}9225\times10^{-5})} {(3\times10^{-3})(2700)} \approx0{,}825.

Passo 5

Finalmente, usando a relação entre números de transporte e mobilidades,
t^+ = \frac{m^+}{m^+ + m^-},
temos
0{,}825 = \frac{3{,}52\times10^{-7}}{3{,}52\times10^{-7} + m^-} \;\Longrightarrow\; m^- = \frac{3{,}52\times10^{-7}}{0{,}825} - 3{,}52\times10^{-7} \approx7{,}47\times10^{-8}\;\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{V}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.

Resposta

Mobilidade do cátion \mathrm{H}^+:
m^+ = 3{,}52\times10^{-7}\;\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{V}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
Mobilidade do ânion \mathrm{Cl}^-:
m^- = 7{,}47\times10^{-8}\;\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{V}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.

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