Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
ocorrer 2 ou mais chamadas em 0,3 minutos;

Passo 1

O enunciado diz: a telefonista recebe em média \,10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de ocorrer \,2 ou mais chamadas em \,0,3 minutos.
Informações dadas:
  • Taxa média: \lambda = 10 chamadas por minuto.
  • Intervalo de tempo considerado: t = 0,3 minutos.
  • Evento pedido: \text{ocorrer }2\text{ ou mais chamadas em }0,3\text{ min}, isto é P(N \ge 2), onde N é o número de chamadas nesse intervalo.

Passo 2

Qual método usar? Quando temos uma taxa média de ocorrências por unidade de tempo e queremos a probabilidade do número de ocorrências em um intervalo fixo, o modelo natural é o processo de Poisson (a distribuição de Poisson). Vou explicar por quê de forma simples:
  • A distribuição de Poisson descreve o número de eventos que ocorrem num intervalo quando os eventos são independentes, a taxa média é constante e dois eventos não ocorrem exatamente ao mesmo tempo com probabilidade positiva.
  • Aqui foi dada a média por minuto e o intervalo é curto e fixo, então é razoável modelar N como Poisson.

Passo 3

Definição e fórmulas importantes (aulas rápidas):
  • Se N segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \mu (média no intervalo), escrevemos N \sim \text{Poisson}(\mu).
  • A função massa de probabilidade é
P(N=k)=\frac{e^{-\mu}\,\mu^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
onde:
  • \mu é a média esperada no intervalo (número médio de eventos no intervalo),
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828),
  • k! é fatorial de k (ex.: 3! = 3\cdot2\cdot1=6).
  • Para um processo com taxa por unidade de tempo \lambda e intervalo de duração t, tem-se \mu=\lambda t.

Passo 4

Calcular o parâmetro \mu para o intervalo dado:
\mu=\lambda t = 10 \times 0,3 = 3.
Portanto N \sim \text{Poisson}(3). Isso significa que, em média, espera-se 3 chamadas em 0,3 minutos.

Passo 5

Expressar a probabilidade pedido de forma conveniente:
Queremos P(N\ge 2). É mais fácil calcular o complementar:
P(N\ge 2)=1-P(N\le 1)=1-\bigl(P(N=0)+P(N=1)\bigr).
Essa troca economiza trabalho porque envolveria somar muitas probabilidades se fizéssemos direto por k=2,3,\dots.

Passo 6

Calcular P(N=0) e P(N=1) usando a fórmula da Poisson com \mu=3:
P(N=0)=\frac{e^{-3}\,3^{0}}{0!}=e^{-3}.
P(N=1)=\frac{e^{-3}\,3^{1}}{1!}=3e^{-3}.
Somando:
P(N=0)+P(N=1)=e^{-3}+3e^{-3}=4e^{-3}.
Logo
P(N\ge 2)=1-4e^{-3}.

Passo 7

Avaliação numérica (aproximação prática):
  • Primeiro e^{-3}\approx0,0497871 (usar tabela, calculadora ou conhecimento aproximado de e).
  • Então 4e^{-3}\approx4\times0,0497871\approx0,1991484.
  • Finalmente
P(N\ge 2)=1-4e^{-3}\approx1-0,1991484\approx0,8008516.
Interpretação rápida: há cerca de 80\% de chance de ocorrerem pelo menos duas chamadas em 0,3 minutos.

Resposta

P(N\ge 2)=1-4e^{-3}\approx0,8008516

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