Uma telefonista recebe em média 10 chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de:
ocorrer 2 ou mais chamadas em 0,3 minutos;
ocorrer 2 ou mais chamadas em 0,3 minutos;
Passo 1
O enunciado diz: a telefonista recebe em média
chamadas por minuto. Pede-se a probabilidade de ocorrer
ou mais chamadas em
minutos.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Taxa média:
chamadas por minuto. - Intervalo de tempo considerado:
minutos. - Evento pedido:
, isto é , onde é o número de chamadas nesse intervalo.
Passo 2
Qual método usar? Quando temos uma taxa média de ocorrências por unidade de tempo e queremos a probabilidade do número de ocorrências em um intervalo fixo, o modelo natural é o processo de Poisson (a distribuição de Poisson). Vou explicar por quê de forma simples:
- A distribuição de Poisson descreve o número de eventos que ocorrem num intervalo quando os eventos são independentes, a taxa média é constante e dois eventos não ocorrem exatamente ao mesmo tempo com probabilidade positiva.
- Aqui foi dada a média por minuto e o intervalo é curto e fixo, então é razoável modelar
como Poisson.
Passo 3
Definição e fórmulas importantes (aulas rápidas):
- Se
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro (média no intervalo), escrevemos . - A função massa de probabilidade é
onde:
-
é a média esperada no intervalo (número médio de eventos no intervalo), -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ), -
é fatorial de (ex.: ). - Para um processo com taxa por unidade de tempo
e intervalo de duração , tem-se .
Passo 4
Calcular o parâmetro
para o intervalo dado:
Portanto
. Isso significa que, em média, espera-se
chamadas em
minutos.
Passo 5
Expressar a probabilidade pedido de forma conveniente:
Queremos . É mais fácil calcular o complementar:
Queremos
Essa troca economiza trabalho porque envolveria somar muitas probabilidades se fizéssemos direto por
.
Passo 6
Calcular
e
usando a fórmula da Poisson com
:
Somando:
Logo
Passo 7
Avaliação numérica (aproximação prática):
- Primeiro
(usar tabela, calculadora ou conhecimento aproximado de ). - Então
. - Finalmente
Interpretação rápida: há cerca de
de chance de ocorrerem pelo menos duas chamadas em
minutos.